Question

1. Дана функция у=X²+6х +5. Не строя графика, найдите: а) область определения и область значенця функции b) нули функции. с) наименыпее значенне функции.

Answer 1

Ответ:нули функции(-5;0)(-1;0)

Облость определения от (- 3;-4) до плюс бесконечности.

Наименьшее занчение (-3;-4)

Answer 2

Давайте рассмотрим данную функцию шаг за шагом:

1. Область определения функции: Функция у = X² + 6X + 5 представляет собой квадратное уравнение, и она определена для всех действительных чисел X. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел, то есть (-∞, +∞).

2. Область значений функции: Функция у = X² + 6X + 5 является квадратным трехчленом, и минимальное значение этой функции находится в её вершине. Чтобы найти минимальное значение, можно воспользоваться формулой для вершины параболы: X = -b / (2a), где a - коэффициент при X², b - коэффициент при X, и c - свободный член.

   В данном случае, a = 1, b = 6, и c = 5. Подставляем в формулу:

   X = -6 / (2 * 1) = -3.

   Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим X = -3 обратно в функцию:

   у = (-3)² + 6 * (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.

   Таким образом, минимальное значение функции -4, и область значений функции в этом случае будет (-4, +∞).

3. Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение X² + 6X + 5 = 0. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения или метода факторизации. В данном случае, давайте воспользуемся квадратным уравнением:

   X² + 6X + 5 = 0.

   Для удобства, давайте разделим все члены уравнения на 1:

   X² + 6X + 5 = 0.

   Теперь используем квадратное уравнение:

   X = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a),

   где a = 1, b = 6 и c = 5.

   X₁ = (-6 + √(6² - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1) = (-6 + √(36 - 20)) / 2 = (-6 + √16) / 2 = (-6 + 4) / 2 = -1.

   X₂ = (-6 - √(6² - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1) = (-6 - √16) / 2 = (-6 - 4) / 2 = -5.

   Таким образом, у функции есть два нуля: X₁ = -1 и X₂ = -5.

4. Наименьшее значение функции: Как мы уже выяснили, наименьшее значение функции у = X² + 6X + 5 равно -4.

Итак, ответы: а) Область определения функции: (-∞, +∞) b) Нули функции: X₁ = -1 и X₂ = -5 с) Наименьшее значение функции: -4

Answer 3

Давайте разберемся с каждым из пунктов по очереди:

а) Область определения и область значений функции: Область определения (D) - это множество всех значений, для которых функция определена. В данном случае, функция у = x² + 6x + 5 определена для любого действительного числа x, так как квадратный полином с переменной x может принимать любое действительное значение.

Область значений (R) - это множество всех значений, которые функция может принимать. Для квадратного полинома R также будет множеством всех действительных чисел, так как квадратный полином может принимать любое значение на числовой оси.

Итак, ответ: а) Область определения функции: D = (-∞, ∞) Область значений функции: R = (-∞, ∞)

б) Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых функция равна нулю. Для нахождения нулей данной функции, мы должны решить уравнение:

x² + 6x + 5 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного уравнения. Факторизация приведет нас к:

(x + 5)(x + 1) = 0

Теперь мы видим, что уравнение имеет два корня:

1. x + 5 = 0 => x = -5
2. x + 1 = 0 => x = -1

Итак, нули функции: x = -5 и x = -1.

с) Наименьшее значение функции: Наименьшее значение функции можно найти, используя вершину параболы. Для функции у = x² + 6x + 5 вершина находится в точке, где производная равна нулю. Сначала найдем производную функции:

у' = 2x + 6

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2x + 6 = 0

2x = -6

x = -3

Таким образом, x = -3 - это x-координата вершины параболы. Теперь мы можем найти значение функции в этой точке:

у(-3) = (-3)² + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4

Наименьшее значение функции у = -4.