Question

Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x^2+16/x МНЕ НУЖНА ПОМОЩЬ

Answer 1

Ответ: функция возрастает при x∈(-∞;0)∪(2;+∞)

функция убывает при x∈(0;2)

Объяснение:

берем производную от функции:

y"=2x-16/x²=(2x³-16)/x²

приравниваем к нулю, получаем

x=0 и x=2

функция возрастает на тех промежутках, где производная >0, а убывает на тех промежутках, где производная меньше нуля

Answer 2

Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции $f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x)$.
2. Решим уравнение $f'(x) = 0$ для поиска критических точек.
3. Изучим знак производной на интервалах между критическими точками и на краях области определения.

Шаг 1: Найдем производную $f'(x)$ функции $f(x)$:

$f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$

$f'(x) = 2x - \frac{16}{x^2}$

Шаг 2: Решим уравнение $f'(x) = 0$ для поиска критических точек:

$2x - \frac{16}{x^2} = 0$

Умножим обе стороны на $x^2$ и решим уравнение:

$2x^3 - 16 = 0$

$2x^3 = 16$

$x^3 = 8$

$x = 2$

Теперь у нас есть одна критическая точка $x = 2$.

Шаг 3: Изучим знак производной на интервалах между критическими точками и на краях области определения. Определение знака производной позволит нам найти интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$.

a) Для $x < 2$:

Выберем значение $x$ меньше 2, например, $x = 1$, и подставим его в $f'(x)$:

$f'(1) = 2(1) - \frac{16}{1^2} = 2 - 16 = -14$

Таким образом, на интервале $(-\infty, 2)$, производная $f'(x)$ отрицательна, что означает, что функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

b) Для $x > 2$:

Выберем значение $x$ больше 2, например, $x = 3$, и подставим его в $f'(x)$:

$f'(3) = 2(3) - \frac{16}{3^2} = 6 - \frac{16}{9} = \frac{54}{9} - \frac{16}{9} = \frac{38}{9}$

На интервале $(2, \infty)$, производная $f'(x)$ положительна, что означает, что функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\infty, 2)$ и возрастает на интервале $(2, \infty)$.