Question

Знайти для функції f(x)=5x^4-2x+3 таку первісну, графік якої проходить через точку а (1;-4)

Answer 1

Ответ:

$F(x) = \int\limits(5 {x}^{4} - 2x + 3)dx = \\ = \frac{5 {x}^{5} }{5} - \frac{2 {x}^{2} }{2} + 3x + = \\ = {x}^{5} - {x}^{2} + 3x +C$

- общий вид

В точке А:

$- 4 = 1 - 1 + 3 + C \\ C = - 4 - 3 = - 7$

$F(x) = {x}^{5} - {x}^{2} + 3x - 7$

Answer 2

Щоб знайти первісну функції $f(x)$ таку, що графік проходить через точку $(1, -4)$, спершу знайдемо первісну для $f(x)$ та позначимо її як $F(x)$. Потім користуючись цією інформацією, знайдемо конкретну константу $C$, щоб задовольнити умову графіка, яка проходить через точку $(1, -4)$.

Перш за все, знайдемо первісну функції $f(x)$. Інтегрування кожного члена окремо відбувається за допомогою стандартних правил інтегрування:

$$\begin{align*} F(x) &= \int (5x^4 - 2x + 3) dx \\ &= \frac{5}{5} \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{2}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C \\ &= x^5 - \frac{1}{2}x^2 + 3x + C. \end{align*}$$

Тепер ми маємо первісну $F(x)$ без константи $C$.

Далі, ми можемо використати умову, що графік проходить через точку $(1, -4)$, щоб знайти значення константи $C$. Підставимо $x = 1$ і $F(x) = -4$ в рівняння:

$$-4 = (1)^5 - \frac{1}{2}(1)^2 + 3(1) + C.$$

Спростимо це рівняння:

$$-4 = 1 - \frac{1}{2} + 3 + C.$$

Тепер знайдемо значення $C$:

$$C = -4 - 1 + \frac{1}{2} - 3 = -6.5.$$

Отже, значення константи $C$ дорівнює -6.5.

Таким чином, первісна функція $F(x)$ для $f(x) = 5x^4 - 2x + 3$ така, що графік проходить через точку $(1, -4)$, має вигляд:

$$F(x) = x^5 - \frac{1}{2}x^2 + 3x - 6.5.$$