Question

Докажите, что значение выражения 41^3+19^3 делится на 60

Answer 1

41^3+19^3=(41+19)(41²- 41*19+19²)= 60*(41²- 41*19+19²),

Один из множителей равен 60, значит выражение  41³+19³делится на 60

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения $41^3 + 19^3$ делится на 60, мы можем воспользоваться свойством арифметики, известным как "малая теорема Ферма". Это свойство гласит, что если $p$ - простое число, и $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В данном случае, $p = 5$ и $p = 3$, так как 60 разлагается на простые множители $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Сначала давайте рассмотрим $41^3$. Мы хотим убедиться, что $41^3 \equiv 1 \pmod{3}$ и $41^3 \equiv 1 \pmod{5}$. Проверим:

1. $41^3 \equiv (-1)^3 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$. Значит, $41^3$ не делится на 3.

2. $41^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{5}$. Значит, $41^3$ не делится на 5.

Теперь рассмотрим $19^3$. Аналогично, мы хотим убедиться, что $19^3 \equiv 1 \pmod{3}$ и $19^3 \equiv 1 \pmod{5}$. Проверим:

1. $19^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{3}$. Значит, $19^3$ не делится на 3.

2. $19^3 \equiv (-1)^3 \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$. Значит, $19^3$ не делится на 5.

Таким образом, мы показали, что и $41^3$, и $19^3$ не делятся на 3 и 5. Следовательно, по малой теореме Ферма, $41^3 \equiv 1 \pmod{3}$ и $41^3 \equiv 1 \pmod{5}$, а также $19^3 \equiv 1 \pmod{3}$ и $19^3 \equiv 1 \pmod{5}$.

Теперь мы можем использовать свойство конгруэнтности для суммы:

$(41^3 + 19^3) \equiv (1 + 1) \equiv 2 \pmod{3}$

$(41^3 + 19^3) \equiv (1 + 1) \equiv 2 \pmod{5}$

Теперь давайте найдем такое целое число, которое было бы одновременно сравнимо с 2 по модулю 3 и 2 по модулю 5. Таким числом является 2.

Таким образом, $41^3 + 19^3$ сравнимо с 2 по модулю и 3, и 5. Поскольку 2 делится и на 3, и на 5, то оно также делится на их произведение, которое равно 60.

Таким образом, значение выражения $41^3 + 19^3$ действительно делится на 60.