Question

X²+px+2=0, sin²pi*p+ sin²pi*x+2^|y|=|sinpi*x/2|. при каких p система имеет решения?​

Answer 1

Ответ:

±3

Объяснение:

Рассмотрим второе уравнение.

$\sin^2 {\pi p}\geq 0,\ \sin^2 {\pi x}\geq 0, 2^{|y|}\geq 2^0 = 1\Rightarrow\\\Rightarrow \sin^2 {\pi p}+\sin^2 {\pi x}+2^{|y|} \geq 0+0+1=1$

$|\sin{\dfrac{\pi x}{2}}|\leq 1$

Левая часть не меньше 1, правая — не больше 1, значит, равенство возможно тогда и только тогда, когда когда обе части равны 1. При этом левая часть равна 1 только тогда, когда первые два слагаемых — 0, а второе — 1.

$\begin{cases}\sin^2{\pi p}=0, \\ \sin^2{\pi x}=0, \\ 2^{|y|} = 1, \\ |\sin{\dfrac{\pi x}{2}}|=1 \end{cases} \begin{cases}\pi p=\pi k, k\in\mathbb{Z}, \\ \pi x=\pi m, m\in\mathbb{Z}, \\ y=0, \\ \dfrac{\pi x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{cases} \begin{cases}p\in\mathbb{Z}, \\ x\in\mathbb{Z}, \\ y=0, \\ x= 1+2 n, n\in\mathbb{Z} \end{cases}$

Из этого следует, что решениями системы могут быть пары вида (x, 0), где x — нечётное целое число, а параметр p — целое число.

Рассмотрим первое уравнение:

$D=p^2-8$

Необходимое условие для целочисленности x — дискриминант должен быть квадратом целого числа (достаточно, чтобы это число было неотрицательным), иначе корень будет иррациональным.

$p^2-8=n^2, n\in\mathbb{Z}, n\geq 0\\p^2-n^2=8\\(p-n)(p+n)=8$

Так как n ≥ 0, $p-n\leq p+n$.

Представим 8 в виде произведения двух множителей: 8 = 1 * 8 = 2 * 4 = (-8) * (-1) = (-4) * (-2). Числа p - n и p + n имеют одинаковую чётность, поэтому варианты p - n = 1, p + n = 8; p - n = -8, p + n = -1 не подходят. Остаётся два варианта:

$\left \{ {{p-n=2} \atop {p+n=4}} \right. \Rightarrow p = 3, n = 1\\\left \{ {{p-n=-4} \atop {p+n=-2}} \right. \Rightarrow p = -3, n = 1$

Проверим данные p:

$x^2+3x+2=0 \Leftrightarrow (x+2)(x+1)=0 \Leftrightarrow x=-2; -1$

Есть нечётное решение x = -1.

$x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-1)=0 \Leftrightarrow x=1; 2$

Есть нечётное решение x = 1.

Значит, подходят p = ±3.

Answer 2

Давайте рассмотрим оба уравнения по отдельности:

1. Уравнение x² + px + 2 = 0.

Это уравнение квадратное по переменной x. Чтобы определить, когда оно имеет решения, мы можем использовать дискриминант (D) квадратного уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0.

В данном случае: a = 1 b = p c = 2

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта: D = p² - 4(1)(2) = p² - 8

Чтобы уравнение имело решения, дискриминант D должен быть неотрицательным: D ≥ 0 p² - 8 ≥ 0

Теперь решим это неравенство относительно p: p² ≥ 8

Чтобы найти значения p, при которых это неравенство выполняется, извлекаем квадратный корень с обеих сторон (учитывая, что p может быть как положительным, так и отрицательным):

|p| ≥ 2√2

Таким образом, система x² + px + 2 = 0 имеет решения при p ≥ 2√2 и p ≤ -2√2.

2. Уравнение sin²(πp) + sin²(πx) + 2^(|y|) = |sin(πx/2)|.

Это уравнение довольно сложное, и его решение зависит от многих параметров, таких как p, x и y. Нет явного аналитического способа найти все возможные решения этого уравнения без дополнительных ограничений на переменные.

Таким образом, система уравнений имеет решения для p из интервала (-∞, -2√2] и [2√2, ∞), но решение уравнения синусов и степеней двойки зависит от конкретных значений переменных x и y. Необходимы дополнительные ограничения на x и y для точного определения решений этого уравнения.