Question

Довести, що при будь-якому значенні х квадратний тричлен 4x2 – 20x + 29 набуває додатного значення.

Answer 1

$4x^{2}-20x+29=0\\\\D=(-20)^{2}-4*4*29=400-464=-64$

Дискриминант меньше нуля, старший коэффициент равен 4 > 0 ,

значит 4x² - 20x ++ 29 > 0 при любых действительных значениях x ,

то есть принимает только положительные значения .

2 способ :

Можно ещё дать такое объяснение :

Графиком функции y = 4x² - 20x + 29 является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.

Дискриминант меньше нуля, значит корней нет, а значит нет точек пересечения с осью OX . Следовательно 4x² - 20x ++ 29 > 0 при любых действительных значениях x .

Answer 2

4x^2-20x+29=(2x-5)^2+4>0

Answer 3

Для доведення того, що квадратний тричлен 4x^2 - 20x + 29 набуває додатного значення при будь-якому значенні x, ми можемо скористатися методом повного квадрату.

Спочатку розглянемо вираз 4x^2 - 20x:

4x^2 - 20x = 4(x^2 - 5x)

Тепер нам потрібно додати і відняти певну константу так, щоб отримати повний квадрат у дужках. Це можна зробити, додавши і віднімаючи квадрат напівсуми коефіцієнта при x:

4x^2 - 20x = 4(x^2 - 5x + 25/4 - 25/4)

Зараз ми маємо:

4x^2 - 20x = 4[(x^2 - 5x + 25/4) - 25/4]

Тепер розглянемо вираз у квадратних дужках:

x^2 - 5x + 25/4

Цей вираз є квадратом бінома (x - 5/2)^2. Тепер підставимо це назад у наш вираз:

4x^2 - 20x = 4[(x - 5/2)^2 - 25/4]

Зробимо останній крок, помножимо обидва члени дужок на 4:

4x^2 - 20x = 4(x - 5/2)^2 - 25

Отже, ми отримали вираз для нашого квадратного тричлена, який виглядає так:

4x^2 - 20x + 29 = 4(x - 5/2)^2 - 25 + 29

4x^2 - 20x + 29 = 4(x - 5/2)^2 + 4

Тепер очевидно, що додавши 4 до квадратного виразу, ми завжди отримуємо додатне значення для виразу 4(x - 5/2)^2, оскільки квадрат будь-якого числа є невід'ємним, і множення на додатню константу також не змінює знак. Тому ми можемо впевнено сказати, що квадратний тричлен 4x^2 - 20x + 29 завжди набуває додатного значення для будь-якого значення x.