Question

Решите неопределённый интеграл eˣ²⁺¹ x²dx =

Answer 1

Ответ:

((1)/(3))e^x^(3)+C

Answer 2

Для решения этого неопределенного интеграла, давайте воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это две функции, которые выбираются так, чтобы упростить интеграл. Давайте выберем:

u = e^(x^2+1) => du = (2x)e^(x^2+1) dx dv = x^2 dx => v = (1/3)x^3

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫e^(x^2+1) x^2 dx = (e^(x^2+1))(1/3)x^3 - ∫(1/3)x^3 (2x)e^(x^2+1) dx

Давайте упростим это выражение:

= (1/3)e^(x^2+1)x^3 - (2/3)∫x^4 e^(x^2+1) dx

Теперь у нас остался интеграл, который можно решить с помощью замены переменной. Проведем замену:

t = x^2 + 1 => dt = 2x dx

Тогда наш интеграл примет вид:

(1/3)e^(x^2+1)x^3 - (2/3)∫(1/2)t^2 e^t dt

= (1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)∫t^2 e^t dt

Теперь интегрируем последний интеграл по частям еще раз:

u = t^2 => du = 2t dt dv = e^t dt => v = e^t

∫t^2 e^t dt = t^2e^t - ∫2t e^t dt

Теперь мы можем выразить интеграл в исходных переменных:

(1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)[t^2e^t - ∫2t e^t dt]

= (1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)[t^2e^t - 2∫t e^t dt]

Теперь интегрируем последний интеграл:

∫t e^t dt = t e^t - ∫e^t dt = t e^t - e^t

Теперь подставим это обратно в наш интеграл:

(1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)[t^2e^t - 2(t e^t - e^t)]

= (1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)[t^2e^t - 2t e^t + 2e^t]

Теперь подставим обратно выражение для t, которое мы использовали для замены:

= (1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)[(x^2+1)e^(x^2+1) - 2(x^2+1)e^(x^2+1) + 2e^(x^2+1)]

Теперь объединим подобные члены:

= (1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)[(x^2+1-2(x^2+1)+2)e^(x^2+1)]

= (1/3)e^(x^2+1)x^3 - (1/3)(-x^2)e^(x^2+1)

= (1/3)e^(x^2+1)(x^3 + x^2)

Итак, неопределенный интеграл:

∫e^(x^2+1) x^2 dx = (1/3)e^(x^2+1)(x^3 + x^2) + C,

где C - постоянная интеграции.