Question

60 БАЛЛОВ Исследовать функцию на непрерывность в указанных точках

Answer 1

Ответ:

$y=5^{\frac{1}{x-3}}\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x\ne 3\\\\a)\ \ x=3\ \ ,\ \ f(3-0)=\lim\limits _{x \to 3-0}5^{\frac{1}{x-3}}=\Big[\ 5^{-\infty}=0 \Big]=0\\\\\\f(3+0)=\lim\limits _{x \to 3+0}5^{\frac{1}{x-3}}=\Big[\ 5^{+\infty }=+\infty \ \Big]=\infty \\\\\\f(3-0)\ne f(3+0)$

При х=3 функция не определена, в точке х=3 функция терпит разрыв .

Функция при х=3 не является непрерывной. Прямая х=3 - вертикальная асимптота .

$b)\ \ x=4\ \ ,\ \ f(4-0)=\lim\limits _{x \to 4-0}5^{\frac{1}{x-3}}=\Big[\ 5^{\frac{1}{(4-0)-3}}=5^1\ \Big]=5\\\\\\f(4+0)=\lim\limits _{x \to 4+0}5^{\frac{1}{x-3}}=\Big[\ 5^{\frac{1}{(4+0)-3}}=5^1\ \Big]=5\\\\\\f(4)=5^{\frac{1}{4-3}}=5^1=5\\\\\\f(4-0)=f(4+0)=f(4)\ \ \ \Rightarrow$

При х=4 функция непрерывна .

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

в точке х = 3

функция не определена, посему никакой непрерывности там быть не может!

В х = 4 вполне себе определена и непрерывна y =4

Answer 3

Для исследования функции на непрерывность в определенных точках, вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Понять, что такое непрерывность функции: Функция f(x) называется непрерывной в точке x = a, если выполнены следующие три условия:

   • f(a) существует (функция определена в точке a).
   • Предел функции существует в точке a: lim[x->a] f(x) существует.
   • Значение функции совпадает с пределом в точке a: f(a) = lim[x->a] f(x).

2. Провести анализ в указанных точках: Если вам дана конкретная функция f(x) и точки, в которых нужно исследовать непрерывность, то вам нужно оценить выполнение трех условий непрерывности в этих точках.

3. Оценить существование функции в точке: Удостоверьтесь, что функция f(x) определена в указанных точках. Проверьте, что для каждой точки x = a, f(a) существует.

4. Вычислить предел функции: Найдите предел функции lim[x->a] f(x) для каждой точки a. Это можно сделать, используя аналитические методы или калькулятор с функцией вычисления пределов.

5. Сравнить значение функции с пределом: Удостоверьтесь, что значение функции в точке совпадает с пределом в этой точке, то есть f(a) = lim[x->a] f(x).

Если все три условия выполняются для каждой указанной точки, то функция непрерывна в этих точках. В противном случае, функция может быть разрывной.

Пример: Допустим, у вас есть функция f(x) = x^2 и вам нужно исследовать ее на непрерывность в точке x = 2.

1. f(2) = 2^2 = 4 существует.
2. lim[x->2] f(x) = lim[x->2] x^2 = 2^2 = 4 существует.
3. f(2) = 4.

В этом случае, все три условия выполняются, и функция f(x) = x^2 непрерывна в точке x = 2.