Question

Реши систему уравнений. 3sinx+4cosy=5 2sinx+5cosy=5 Полученные в ответе дроби сократи

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}3sinx+4cosy=5\\2sinx+5cosy=5\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a=sinx\\b=cosy\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}3a+4b=5\\2a+5b=5\end{array}\right\ \ominus \left\{\begin{array}{l}3a+4b=5\\a-b=0\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}3a+4b=5\\a=b\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}3a+4a=5\\a=b\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\ a=\frac{5}{7}\\b=\frac{5}{7} \end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\ sinx=\frac{5}{7}\\cosy=\frac{5}{7}\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}x=(-1)^{n}arcsin\dfrac{5}{7}+\pi n\ ,\ n\in Z\\y=\pm arccos\dfrac{5}{7}+2\pi k\ ,\ k\in Z\end{array}\right$

Answer 2

Для решения этой системы уравнений, давайте воспользуемся методом сложения уравнений. Сначала умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3, чтобы сделать коэффициенты sin(x) одинаковыми, а коэффициенты cos(y) одинаковыми:

1. $6\sin(x) + 8\cos(y) = 10$
2. $6\sin(x) + 15\cos(y) = 15$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(6\sin(x) + 15\cos(y)) - (6\sin(x) + 8\cos(y)) = 15 - 10$

Это упрощается до:

$7\cos(y) = 5$

Теперь мы можем найти значение cos(y):

$cos(y) = \frac{5}{7}$

Для того чтобы найти значение sin(x), давайте вернемся к одному из исходных уравнений, например, к первому:

$3\sin(x) + 4\cos(y) = 5$

Подставим в него значение cos(y), которое мы только что нашли:

$3\sin(x) + 4\left(\frac{5}{7}\right) = 5$

Теперь решим это уравнение для sin(x):

$3\sin(x) = 5 - \frac{20}{7}$

$3\sin(x) = \frac{35}{7} - \frac{20}{7}$

$3\sin(x) = \frac{15}{7}$

$sin(x) = \frac{5}{7}$

Таким образом, решение системы уравнений:

1. $sin(x) = \frac{5}{7}$
2. $cos(y) = \frac{5}{7}$

В этом ответе дроби не могут быть сокращены, так как оба числителя и знаменатели не имеют общих делителей, кроме 1.