Question

Ненулевое число a таково, что оба корня уравнения ниже - целые числа. Укажите наибольшее число, которое может быть корнем этого уравнения. Уравнение: а^2 x^2 + ax + 1 - 13a^2=0​

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

это олимпиадное задание

Answer 2

Для того чтобы найти наибольший целочисленный корень этого уравнения, мы можем воспользоваться квадратным уравнением. Уравнение a^2x^2 + ax + 1 - 13a^2 = 0 - это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = a^2, b = a, и c = 1 - 13a^2.

Сначала давайте определим дискриминант (D) этого уравнения. Дискриминант - это часть формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

D = a^2 - 4(a^2)(1 - 13a^2)

D = a^2 - 4a^2 + 52a^4

D = 52a^4 - 3a^2

Теперь, чтобы найти целые корни этого уравнения, дискриминант должен быть полным квадратом некоторого целого числа. То есть, мы хотим, чтобы 52a^4 - 3a^2 был полным квадратом.

Давайте рассмотрим некоторые значения a и проверим, являются ли соответствующие дискриминанты полными квадратами:

1. Попробуем a = 1: D = 52(1^4) - 3(1^2) = 49 49 - полный квадрат (7^2).

2. Попробуем a = 2: D = 52(2^4) - 3(2^2) = 832 832 - не является полным квадратом.

3. Попробуем a = 3: D = 52(3^4) - 3(3^2) = 4467 4467 - не является полным квадратом.

4. Попробуем a = 4: D = 52(4^4) - 3(4^2) = 16436 16436 - не является полным квадратом.

Таким образом, наибольшее целое значение a, при котором D является полным квадратом, - это a = 1. То есть, наибольший целочисленный корень этого уравнения равен 7.