Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції f(x)=x²-x+4/x-1​

Answer 1

Ответ:

зростання [5,5;∞]

спадання [-∞;5.5]

Объяснение:

f(x)=x²-x+4/x-1​

0=х²-х+4/(х-1)

0=х²-х+4/(х-1), х≠1

х²-х+4/(х-1)=0

(х²*(х-1)-х(х-1)+4)/(х-1)=0

(х³-2х²+х+4)/(х-1)=0

х³-2х²+х+4=0

х³+х²-3х²-3х+4х+4=0

х²(х+1)-3х(х+1)+4(х+1)=0

(х+1)*(х²-3х+4)=0

х1=-1

х2≠1

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x - 1}$, спочатку потрібно знайти її похідну і визначити, де вона додатня (зростає) та де від'ємна (спадає).

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$. Використовуючи правило ділення диференціалів для функцій, які подані у вигляді дробу, отримаємо:

   $$f'(x) = \frac{(x - 1)(2x - 1) - (x^2 - x + 4)}{(x - 1)^2}$$

   Після спрощення виразу:

   $$f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 + x - 4}{(x - 1)^2}$$
   $$f'(x) = \frac{-x - 3}{(x - 1)^2}$$

2. Тепер розглянемо додатність та від'ємність цієї похідної. Похідна $f'(x)$ дорівнює 0 при $x = -3$. Це єдиний критичний точки для цієї функції.

   • Коли $x < -3$, $f'(x) < 0$, отже, функція $f(x)$ спадає на цьому проміжку.
   • Коли $-3 < x < 1$, $f'(x) > 0$, отже, функція $f(x)$ зростає на цьому проміжку.
   • Коли $x > 1$, $f'(x) < 0$, отже, функція $f(x)$ спадає на цьому проміжку.

Таким чином, функція $f(x)$ зростає на інтервалі $(-3, 1)$ і спадає на інтервалах $(-∞, -3)$ і $(1, +∞)$.