Question

1) (x-1)(2x-3)<0; 2) (x+3)(x-1)>0;

Answer 1

Ответ:

1) x∈(1; $\frac{3}{2}$)

2) x∈(-∞; -3)∪(1; +∞)

Объяснение первого неравенства:

Чтобы произведение было меньше нуля, множители должны иметь разные знаки. Тогда получаем две системы (знака системы сайт не имеет, строчки должны быть объединены фигурной скобкой).

Первая:

x-1<0

2x-3>0

Вторая:

x-1>0

2x-3<0

Решение первой:

x-1<0

x<1;

2x-3>0

2x>3

x>$\frac{3}{2}$;

Поскольку мы решали систему, нужно найти пересечение решений. Здесь пересечение - пустое множество, потому что 3/2 больше 1.

Решение второй:

x-1>0

x>1;

2x-3<0

2x<3

x<$\frac{3}{2}$

Пересечение решений - x∈(1; $\frac{3}{2}$) (скобки ставим круглые, потому что знак неравенства строгий)

Объяснение второго неравенства:

Чтобы произведение было больше нуля, множители должны иметь один знак. Тогда получаем две системы:

Первая:

x+3>0

x-1>0

Вторая:

x+3<0

x-1<0

Решение первой:

x+3>0

x>-3;

x-1>0

x>1;

Пересечение: x∈(1; +∞)

Решение второй:

x+3<0

x<-3;

x-1<0

x<1;

Пересечение: x∈(-∞; -3)

Пересекаем решения первой и второй систем и получаем: x∈(-∞; -3)∪(1; +∞)

Answer 2

To solve these inequalities, you can use the method of sign analysis. The idea is to find the intervals where the expression is positive or negative by examining the sign of each factor and their combinations.

1) $(x-1)(2x-3) < 0$:

Let's consider the two factors separately:

• $x - 1$ is zero when $x = 1$.
• $2x - 3$ is zero when $x = \frac{3}{2}$.

Now, create a sign chart with these critical points:

$$\begin{array}{c|cccc} & x < \frac{3}{2} & \frac{3}{2} < x < 1 & x > 1 \\ \hline x - 1 & - & - & + \\ 2x - 3 & - & + & + \\ (x-1)(2x-3) & + & - & + \end{array}$$

The solution to $(x-1)(2x-3) < 0$ is $\frac{3}{2} < x < 1$.

2) $(x+3)(x-1) > 0$:

Let's consider the two factors separately:

• $x + 3$ is zero when $x = -3$.
• $x - 1$ is zero when $x = 1$.

Now, create a sign chart with these critical points:

$$\begin{array}{c|cccc} & x < -3 & -3 < x < 1 & x > 1 \\ \hline x + 3 & - & + & + \\ x - 1 & - & - & + \\ (x+3)(x-1) & + & - & + \end{array}$$

The solution to $(x+3)(x-1) > 0$ is $x < -3$ or $x > 1$.

So, the combined solution to both inequalities is $\frac{3}{2} < x < 1$ or $x < -3$ or $x > 1$.