Question

Знайдіть значення похідної f(x) = x cosx у точці x0=П/2​

Answer 1

$f(x)=xCosx\\\\f'(x)=x'*Cosx+x*(Cosx)'=1*Cosx+x*(-Sinx) = Cosx-xSinx\\\\f'(\frac{\pi }{2}) =Cos\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}Sin\frac{\pi }{2}=0-\frac{\pi }{2}*1=\boxed{-\frac{\pi }{2}}$

Answer 2

Щоб знайти значення похідної функції f(x) = x cos(x) в точці x0 = π/2, спершу знайдемо похідну функції f(x) і після цього підставимо значення x0 = π/2.

Похідна добутку функцій обчислюється за формулою (uv)' = u'v + uv', де u і v - це дві функції, а u' і v' - їхні похідні.

У нашому випадку: u(x) = x, v(x) = cos(x).

Знайдемо похідні: u'(x) = 1 (похідна x за x - це 1), v'(x) = -sin(x) (похідна cos(x) за x).

Тепер обчислимо похідну функції f(x):

f'(x) = u'v + uv' f'(x) = (1)(cos(x)) + (x)(-sin(x)) f'(x) = cos(x) - x*sin(x).

Тепер підставимо x0 = π/2, щоб знайти значення похідної в цій точці:

f'(π/2) = cos(π/2) - (π/2)*sin(π/2)

cos(π/2) = 0 (cos(π/2) = 0) sin(π/2) = 1 (sin(π/2) = 1)

Отже, f'(π/2) = 0 - (π/2)*1 = -π/2.

Отже, значення похідної функції f(x) = x cos(x) в точці x0 = π/2 дорівнює -π/2.