Question

Найдите экстремумы функций. 1)y=2x^3–3x^2 2)y=x^3–6x^2+12x​

Answer 1

Первое что мы делаем, мы берем производные:
(1) у’ = 6х^2 -6х
(2)у’ = 3х^2 -12х + 12

Потом мы эти выражения приравниваем к 0:
(1) х(6х - 6) = 0
х = 0 - критические точки
х = 1 - критические точки

(2) х^2 - 4х + 4 = 0 можем упростить так :
(х - 2) (х - 2)=0
х= 2 - критическая точка

Далее, исследуем знак производной слева и справа от точек, чтобы понять, где максимум а где минимум:
(1) Слева от 0 у нас + , а справа - . Справа от 1 у нас +
Ответ 1-го уравнения: 0- max ; 1 - min
Ответ 2-го уравнения : 2 - min

Answer 2

Для нахождения экстремумов функций, необходимо найти их производные и решить уравнения, приравнивая производные к нулю.

1. Функция $y = 2x^3 - 3x^2$:

   a. Найдем производную первого порядка: $y' = 6x^2 - 6x.$

   b. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $6x^2 - 6x = 0.$ $6x(x - 1) = 0.$

   Решения: $x = 0$ и $x = 1$.

   c. Подставим найденные значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: $y(0) = 0$ $y(1) = -1$

   Таким образом, есть точка экстремума (0, 0) и (1, -1).

2. Функция $y = x^3 - 6x^2 + 12x$:

   a. Найдем производную первого порядка: $y' = 3x^2 - 12x + 12.$

   b. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2 - 12x + 12 = 0.$

   Это уравнение можно поделить на 3: $x^2 - 4x + 4 = 0.$ $(x - 2)^2 = 0.$

   Решение: $x = 2$.

   c. Подставим найденное значение обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y: $y(2) = 8 - 24 + 24 = 8.$

   Таким образом, есть точка экстремума (2, 8).

Таким образом, у функции $y = 2x^3 - 3x^2$ есть точки экстремума (0, 0) и (1, -1), а у функции $y = x^3 - 6x^2 + 12x$ есть точка экстремума (2, 8).