Question

Много баллов. В геометрической прогрессии S4=10целых 5/8 , S5=42целых 5/8 , b1=1/8,. Найдите q.​

Answer 1

Ответ:   $q=4$  .

$S_4=10\dfrac{5}{8}=\dfrac{85}{8}\ \ ,\ \ S_5=42\dfrac{5}{8}=\dfrac{341}{8}\ \ ,\ \ \ b_1=\dfrac{1}{8}\\\\\\S_4=\dfrac{b_1\, (q^4-1)}{q-1}\ \ ,\ \ \ \ \ \dfrac{\dfrac{1}{8}\, (q^4-1)}{q-1}=\dfrac{85}{8}\ \ ,\ \ \ \ \dfrac{q^4-1}{q-1}=85\ \ ,\\\\\\\dfrac{(q-1)(q+1)(q^2+1)}{q-1}=85\ \ ,\ \ \ (q+1)(q^2+1)=85\ \to \\\\\\\underline{q^3+q^2+q+1=85\ }\\\\\\S_5=\dfrac{b_1\, (q^5-1)}{q-1}\ \ ,\ \ \ \dfrac{\dfrac{1}{8}\, (q^5-1)}{q-1}=\dfrac{341}{8}\ \ ,\ \ \ \ \dfrac{q^5-1}{q-1}=341\ \ ,$

$\dfrac{(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)}{q-1}=341\ \ ,\ \ \ q^4+\underbrace{q^3+q^2+q+1}_{85}=341\\\\\\q^4+85=341\ \ ,\ \ q^4=256\ \ \ \Rightarrow \ \ \ q^2-256=0\ \ ,\\\\(q^2-16)(q^2+16)=0\ \ ,\ \ \ (q-4)(q+4)(q^2+16)=0\ \ \Rightarrow \ \ q=\pm 4\ \ \\\\q=4\ \ ,\ \ S_4=\dfrac{\dfrac{1}{8}\, (4^4-1)}{4-1}=\dfrac{85}{8}\ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{q=4}\\\\q=-4\ \ ,\ \ S_4=\dfrac{\dfrac{1}{8}\, ((-4)^4-1)}{-4-1}\ne \dfrac{85}{8}$

Answer 2

Для того чтобы найти q в геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы членов прогрессии. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q),

где: S_n - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

В вашем случае у нас есть следующие данные: S4 = 10 5/8 = 85/8, S5 = 42 5/8 = 341/8, b1 = 1/8.

Мы знаем, что b1 = a, поэтому a = 1/8. Также нам известно, что S4 и S5, поэтому мы можем использовать эти значения в формуле.

Для S4: 85/8 = (1/8) * (1 - q^4) / (1 - q).

Для S5: 341/8 = (1/8) * (1 - q^5) / (1 - q).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для q. Давайте начнем с первого уравнения:

85/8 = (1/8) * (1 - q^4) / (1 - q).

Умножим обе стороны на 8:

85 = 1 - q^4 / (1 - q).

Теперь перенесем 1 на левую сторону:

84 = -q^4 / (1 - q).

Теперь домножим обе стороны на (1 - q):

84(1 - q) = -q^4.

Раскроем скобки:

84 - 84q = -q^4.

Теперь перенесем все члены на одну сторону и упростим:

q^4 - 84q - 84 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно q^4. Мы можем решить его, и затем найти q:

q^4 - 84q - 84 = 0.

Можно воспользоваться численными методами или калькулятором для решения этого уравнения. В результате, вы найдете значения q.