Question

Докажите тождество: б) 1 + cos a - sin a / 1 - cos a - sin = -ctg a/2​

Answer 1

Ответ:

Решение

1 - sin a cos a ctg a = sin² a

Упростим левую часть

1 - sina cosa ctgx = 1 - sina * cosx * (cosa/sina) = 1 - cos²a = sin²a

sin²a = sin²a

доказано

Объяснение:

Answer 2

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом. Исходное тождество звучит следующим образом:

(1 + cos(a) - sin(a)) / (1 - cos(a) - sin(a)) = -ctg(a/2)

Для начала, давайте объединим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения:

(1 + cos(a) - sin(a)) / (1 - cos(a) - sin(a))

Теперь, чтобы доказать данное тождество, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

1. Перепишем sin(a) как 1 - cos(90° - a). Это следует из тригонометрического тождества sin(90° - a) = cos(a).

(1 + cos(a) - (1 - cos(90° - a))) / (1 - cos(a) - (1 - cos(90° - a)))

2. Сократим слагаемые "1" в числителе и знаменателе:

(cos(a) + cos(90° - a)) / (-cos(a) - cos(90° - a))

3. Спользуемся тригонометрическим тождеством cos(90° - a) = sin(a):

(cos(a) + sin(a)) / (cos(a) + sin(a))

4. Теперь мы видим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель (cos(a) + sin(a)), который мы можем сократить:

(cos(a) + sin(a)) / (cos(a) + sin(a)) = 1

Таким образом, левая часть уравнения равна 1. Теперь давайте проверим правую часть уравнения:

-ctg(a/2)

Мы знаем, что ctg(a) = 1 / tan(a). Тогда ctg(a/2) = 1 / tan(a/2). Так как tan(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a)), то

1 / tan(a/2) = 1 / (sin(a) / (1 + cos(a))) = (1 + cos(a)) / sin(a)

Теперь мы видим, что правая часть уравнения равна (1 + cos(a)) / sin(a), и это тоже равно 1.

Итак, левая и правая части уравнения равны 1, что означает, что данное тождество доказано:

(1 + cos(a) - sin(a)) / (1 - cos(a) - sin(a)) = -ctg(a/2)