Question

Окружности с центрами в точках О и О, касаются внешним образом в точке С. Из точки А проведены касательные к этим окружностям. АВ, АС и AD - отрезки касательных. Длина отрезка АС равна 2,7. Найди длину отрезка BD.​

Answer 1

Ответ:

5.4 получается в ответе

Answer 2

Давайте обозначим следующие длины:

1. $r$ - радиус окружности с центром в точке $O$ и радиус окружности с центром в точке $O'$ (они равны, так как окружности касаются внешним образом).
2. $AO = AO' = r$ - расстояние от точки $A$ до центров окружностей.

Так как $AC$ является касательной к окружности с центром в точке $O$, то по свойству касательных к окружности $AC$ перпендикулярно радиусу $AO$. Точно так же $AD$ перпендикулярно радиусу $AO'$.

Из прямоугольного треугольника $ACO$ имеем:

$AC^2 = AO^2 + OC^2$ $(2.7)^2 = r^2 + r^2$ $2 \times (2.7)^2 = 2r^2$ $r^2 = \frac{(2.7)^2}{2}$ $r = \frac{2.7}{\sqrt{2}}$

Теперь рассмотрим треугольник $BDO'$. Он прямоугольный, так как $BD$ - касательная к окружности $O'$ и $BO'$ - радиус окружности $O'$. Имеем:

$BD^2 = BO'^2 + DO'^2$ $BD^2 = (2r)^2 + (r\sqrt{2})^2$ $BD^2 = 4r^2 + 2r^2$ $BD^2 = 6r^2$ $BD = r\sqrt{6}$

Подставим значение $r$ из предыдущего расчета:

$BD = \frac{2.7}{\sqrt{2}} \times \sqrt{6}$ $BD \approx 2.7 \times \sqrt{3} \approx 4.677$