Question

Решите графически неравенства и обоснуйте ответ: а) х^2+2х-3≥0; б) 4х^2-х+9<0; в) -х^2+4х-7<0;

Answer 1

А) Х є (-бесконечности,-3] до [1,+бесконечность)

Б) Х не имеет корней

В) Х є R

Answer 2

Для решения данных неравенств графически, мы можем начать с построения графиков соответствующих квадратных функций и затем определить интервалы значений $x$, удовлетворяющие неравенствам.

а) Начнем с графика функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Сначала найдем корни этой функции, решив уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$:

$x^2 + 2x - 3 = 0$ $(x + 3)(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x = -3$ и $x = 1$. Теперь построим график функции $f(x)$ и определим, когда она больше или равна нулю:

Из графика видно, что функция $f(x) = x^2 + 2x - 3$ больше или равна нулю на интервалах $[-3, 1]$ и $(1, +\infty)$.

б) Теперь рассмотрим функцию $g(x) = 4x^2 - x + 9$. Найдем корни уравнения $4x^2 - x + 9 = 0$ (если они существуют). Это уравнение имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4(4)(9) = -143$, который отрицателен, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, функция $g(x) = 4x^2 - x + 9$ положительна для всех значений $x$. Неравенство $4x^2 - x + 9 < 0$ не имеет решений в действительных числах.

в) Наконец, рассмотрим функцию $h(x) = -x^2 + 4x - 7$. Найдем ее вершину, используя формулу $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-4}{2(-1)} = 2$

Теперь выразим значение функции в вершине:

$h(2) = -2^2 + 4(2) - 7 = -3$

График функции $h(x) = -x^2 + 4x - 7$ представляет собой параболу, направленную вниз, и вершина этой параболы находится в точке (2, -3).

Функция $h(x)$ отрицательна внутри параболы. Следовательно, неравенство $-x^2 + 4x - 7 < 0$ выполняется на интервале $(-\infty, 2)$.