Question

Sin ²3x + sin²4x =sin²5x+ sin²6хпомогите пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

$sin^23x+sin^24x=sin^25x+sin^26x\ \ ,\ \ \ \ \ \boxed{\ sin^2a=\dfrac{1-cos2a}{2}\ }\\\\\\\dfrac{1-cos6x}{2}+\dfrac{1-cos8x}{2}=\dfrac{1-cos10x}{2}+\dfrac{1-cos12x}{2}\ \Bid|\cdot 2\\\\\\1-cos6x+1-cos8x=1-cos10x+1-cos12x\ |\cdot (-1)\\\\cos6x+cos8x=cos10x+cos12x\\\\2\cdot cos7x\cdot cosx=2\cdot cos11x\cdot cosx\\\\cos11x\cdot cosx-cos7x\cdot cosx=0\\\\cosx\cdot (cos11x-cos7x)=0\\\\a)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ cos11x-cos7x=0\ \ ,\ \ \ -2\cdot sin9x\cdot sin2x=0$

$sin9x=0\ \ ,\ \ 9x=\pi k\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{\pi k}{9}\ ,\ k\in Z\\\\sin2x=0\ \ ,\ \ 2x=\pi m\ \ ,\ \ x_3=\dfrac{\pi m}{2}\ ,\ m\in Z\\\\x_2=x_3\ ,\ esli\ \ \dfrac{\pi k}{9}=\dfrac{\pi m}{2}\ \ \Rightarrow \ \ k=\dfrac{9m}{2}\ \ \to \ \ m=2l\ \ ,\ \ k=9l\ ,\ l\in Z\\\\Otvet:\ \ x_1=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{\pi k}{9}\ \ ,\ \ n,k\in Z\ .$

Answer 2

Для решения этого уравнения используем тригонометрические тождества и свойства синусов:

1. Начнем с исходного уравнения:

   sin²(3x) + sin²(4x) = sin²(5x) + sin²(6x).

2. Используем тождество суммы для синуса:

   sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2.

Теперь уравнение будет выглядеть следующим образом:

(1 - cos(23x))/2 + (1 - cos(24x))/2 = (1 - cos(25x))/2 + (1 - cos(26x))/2.

3. Упростим уравнение:

(1 - cos(6x))/2 + (1 - cos(8x))/2 = (1 - cos(10x))/2 + (1 - cos(12x))/2.

4. Уберем деление на 2 с обеих сторон уравнения:

1 - cos(6x) + 1 - cos(8x) = 1 - cos(10x) + 1 - cos(12x).

5. Теперь объединим подобные члены:

2 - (cos(6x) + cos(8x)) = 2 - (cos(10x) + cos(12x)).

6. Выразим суммы косинусов слева и справа:

cos(10x) + cos(12x) = cos(6x) + cos(8x).

7. Используем формулу для суммы косинусов:

cos(A) + cos(B) = 2*cos((A + B) / 2)*cos((A - B) / 2).

Теперь уравнение выглядит так:

2*cos(11x)cos(x) = 2cos(7x)*cos(x).

8. Делим обе стороны на 2*cos(x):

cos(11x) = cos(7x).

9. Для того чтобы найти значения x, при которых косинусы равны, можно рассмотреть угловые аргументы:

11x = 7x + 2nπ, где n - целое число.

Выразим x:

4x = 2nπ

x = nπ/2.

Таким образом, решениями уравнения являются x = nπ/2, где n - целое число.