Question

Даю 70 баллов, хелп! решите уравнение 2sin^2x + sinxcosx - 3cos^2x = 0 укажите корни, принадлежащие отрезку [число пи/2 ; 3п/2]

Answer 1

$2Sin^{2}x+Sinx Cosx - 3Cos^{2}x=0|:Cos^{2}x, \ Cosx\neq 0\\\\\frac{2Sin^{2}x }{Cos^{2}x } +\frac{Sinx Cosx}{Cos^{2}x }-\frac{3Cos^{2} x}{Cos^{2}x }=0\\\\2tg^{2} x+tgx-3=0\\\\tgx=m\\\\2m^{2}+m-3=0\\\\D=1^{2}-4*2*(-3)=1+24=25=5^{2} \\\\m_{1}=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2} \\\\m_{2} =\frac{-1+5}{4}=1$

$1$

$[\frac{\pi }{2} \ ; \ \frac{3\pi }{2}] \\\\1)\boxed{x=\pi -arctg1,5}\\\\2)n=1 \ \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi=\boxed{\frac{5\pi }{4}}$

Answer 2

Ответ:

2sin^2(x)+sin(x)*cos(x)-3cos^2(x)=0

Делим все уравнение на cos^2(x)=0

2tg^2(x)+tg(x)-3=0

Замена tg(x)=t

2t^2+t-3=0

(t-1)(2t+3)=0

t1=tg(x)=-3/2; x1=arctg(-3/2)+П*n=-arctg(-3/2)+П*n, n ∈Z

t2=tg(x)=1; x2=П/4+П*k; k ∈ Z

На отрезке [П/2;3П/2] лежат корни:

x1=П/4+П=5П/4; x2=П-arctg(3/2)

Это как я понел если я ошибся то сообщите мне:)

Answer 3

Для решения данного уравнения начнем с переписывания уравнения в терминах только синусов и косинусов:

$2\sin^2x + \sin x \cos x - 3\cos^2x = 0.$

Заметим, что мы можем заменить $\sin^2x$ на $1 - \cos^2x$, используя тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$2(1 - \cos^2x) + \sin x \cos x - 3\cos^2x = 0.$

Раскроем скобки:

$2 - 2\cos^2x + \sin x \cos x - 3\cos^2x = 0.$

Упростим уравнение:

$2 - 5\cos^2x + \sin x \cos x = 0.$

Теперь заметим, что это уравнение можно представить в виде квадратного уравнения относительно $\cos x$:

$5\cos^2x - \sin x \cos x - 2 = 0.$

Теперь найдем корни этого уравнения, используя формулу для квадратного уравнения:

$\cos x = \frac{\sin x \pm \sqrt{(\sin x)^2 + 4\cdot 5 \cdot 2}}{2\cdot 5}.$

$\cos x = \frac{\sin x \pm \sqrt{\sin^2x + 40}}{10}.$

Используя данное уравнение, мы можем найти значения $\cos x$ и, затем, с использованием диапазона значений, найти значения $x$ из отрезка $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Помните, что для данного уравнения может быть несколько значений $x$ в указанном диапазоне.