Question

Розв'яжіть рівняння х^3 + 2х^2 - 9x - 18 = 0. У відповідь запишіть найменший із знайдених коренів.​

Answer 1

x³ + 2x² - 9x - 18 = 0

(x³ + 2x²) - (9x + 18) = 0

x²(x + 2) - 9(x + 2) = 0

(x + 2)(x² - 9) = 0

(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0

x + 2 = 0     ⇒     x₁ = - 2

x - 3 = 0      ⇒     x₂ = 3

x + 3 = 0     ⇒     x₃ = - 3

Ответ : - 3

Answer 2

Давайте розв'яжемо дане рівняння $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$ та знайдемо його корені.

Спробуємо знайти корінь за допомогою алгоритму Кардано для розв'язування кубічних рівнянь. Позначимо $x = t - \frac{2}{3}$, щоб позбутися коефіцієнта при $x^2$ у рівнянні.

Отримаємо:

$t^3 - \frac{20}{3}t - \frac{109}{27} = 0.$

Тепер обчислимо коефіцієнти для алгоритму Кардано:

$p = -\frac{20}{3}, \quad q = -\frac{109}{27}.$

Тепер знайдемо значення $r$ та $s$:

$r = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}},$ $s = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}.$

Після підстановки отримаємо:

$r \approx 2.1236, \quad s \approx -2.0889.$

Тепер знайдемо значення $x$ (початковий зсувовий множник):

$x = t - \frac{2}{3} \approx 2.1236 - \frac{2}{3} \approx 1.4569.$

Отже, найменший із знайдених коренів цього рівняння близький до $x \approx 1.4569$.