Question

Найти производную от частного сложной функции:

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{(3x+6x^2)^8}{sin(3\sqrt{x}+\frac{4}{x})}\ \ ,\ \ \ \ \ \Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} \\\\\\y'=\dfrac{8(3x+6x^2)^7\cdot (3+12x)\cdot sin(3\sqrt{x}+\frac{4}{x})-(3x+6x^2)^8\cdot cos(3\sqrt{x}+\frac{4}{x})\cdot (\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{x^2})}{sin^2(3\sqrt{x}+\frac{4}{x})}$

Answer 2

Для нахождения производной от частного сложной функции можно использовать правило дифференцирования сложных функций, которое называется правилом дифференцирования частного. Если у вас есть функция вида:

$F(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$

где $u(x)$ и $v(x)$ - это функции, зависящие от $x$, то производная $F'(x)$ вычисляется следующим образом:

$F'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$

Где $u'(x)$ - производная функции $u(x)$, а $v'(x)$ - производная функции $v(x)$.

Таким образом, для вашей сложной функции:

$F(x) = \frac{u(g(x))}{v(x)}$

производная будет:

$F'(x) = \frac{u'(g(x)) \cdot v(x) - u(g(x)) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$

где $u'(g(x))$ - производная функции $u$ по переменной $g(x)$, а $v'(x)$ - производная функции $v(x)$ по переменной $x$.