Question

Дослідіть функцію у=6х⁴-4х⁶ і побудуйте її графік​

Answer 1

у=6х⁴-4х⁶

6х⁴-4х⁶=0

x⁴*(3-2x²)=0

x1= - √6/2

x2= 0

x3= √6/2

Answer 2

Щоб дослідити функцію y = 6x^4 - 4x^6 і побудувати її графік, спершу розглянемо її характеристики, такі як знак похідних, точки перегину та значення в окремих точках. Далі ми побудуємо графік функції.

1. Знайдемо похідні функції y відносно x: y' = d/dx (6x^4 - 4x^6) = 24x^3 - 24x^5

2. Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю: 0 = 24x^3 - 24x^5 24x^3 = 24x^5 x^3 = x^5 x^3(x^2 - 1) = 0 x^3(x - 1)(x + 1) = 0

   Отже, x = 0, x = 1 та x = -1 є точками, де похідна дорівнює нулю.

3. Визначимо інтервали, де похідна додатня (функція зростає) та де похідна від'ємна (функція спадає). Використовуючи тестування інтервалів, можемо зробити висновки:

   • Для x < -1, похідна додатня, отже, функція зростає на цьому інтервалі.
   • Для -1 < x < 0, похідна від'ємна, отже, функція спадає на цьому інтервалі.
   • Для 0 < x < 1, похідна додатня, отже, функція зростає на цьому інтервалі.
   • Для x > 1, похідна від'ємна, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

4. Знайдемо точку перегину функції, де похідна змінює знак: Перегин відбувається там, де друга похідна дорівнює нулю: y'' = d^2/dx^2 (24x^3 - 24x^5) = 72x^2 - 120x^4

   0 = 72x^2 - 120x^4 12x^2(6 - 10x^2) = 0 12x^2 = 0 або 6 - 10x^2 = 0

   Перша рівність дає x = 0, а друга рівність дає 6 - 10x^2 = 0, що зводиться до 10x^2 = 6. Розв'язуючи це рівняння, отримуємо x = ±√(6/10) = ±√(3/5).

5. Тепер маємо всі необхідні дані для побудови графіка. Ось графік функції y = 6x^4 - 4x^6:

   Зона зростання: x < -1 та 0 < x < 1 Зона спадання: -1 < x < 0 та x > 1 Перегини: x = 0 та x = ±√(3/5)

   Графік функції буде мати дві вершина в точках (±√(3/5), f(±√(3/5))), де f(x) = 6x^4 - 4x^6 - ці значення можна обчислити. Функція буде зростати на інтервалах x < -1 та 0 < x < 1, і спадати на інтервалах -1 < x < 0 та x > 1.