Question

Решите методом интервалов неравенства: а)(х’2-1)(х+6)>0 б)(х+5)’2(х’2-5х)<_0 ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

а)(х²-1)(х+6)>0

х=±1; х=-6

_____-6______-1__________1_______

-                   +                         -                  +

х∈(-6;-1)∪(-1;+∞)

б)(х+5)²(х²-5х)≤0

(х+5)²(х-5)*х=0

х=-5;х=0;х=5

___-5_______0_______5______

+               +                    -            +

х∈[0;5]∪{-5}

Answer 2

Для решения неравенств методом интервалов мы будем использовать следующий подход:

1. Найдем все критические точки, то есть точки, где левая и правая части неравенства обращаются в ноль.

2. Разобьем область, где выполняется неравенство, на интервалы между критическими точками.

3. Проверим знаки выражений внутри каждого интервала, чтобы определить, выполняется ли неравенство.

a) Начнем с неравенства (x^2 - 1)(x + 6) > 0.

1. Найдем критические точки, где левая и правая части обращаются в ноль: x^2 - 1 = 0 => x^2 = 1 => x = ±1 x + 6 = 0 => x = -6

2. Теперь разделим область числовой прямой на интервалы: -∞ -6 -1 1 +∞

3. Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения (x^2 - 1)(x + 6) на этом интервале:

   -∞: Выберем x = -7, тогда (-7^2 - 1)(-7 + 6) = (49 - 1)(-1) = 48 * (-1) = -48, что меньше нуля. -6: Выберем x = -3, тогда (-3^2 - 1)(-3 + 6) = (9 - 1)(3) = 8 * 3 = 24, что больше нуля. -1: Выберем x = 0, тогда (0^2 - 1)(0 + 6) = (-1)(6) = -6, что меньше нуля. 1: Выберем x = 2, тогда (2^2 - 1)(2 + 6) = (4 - 1)(8) = 3 * 8 = 24, что больше нуля. +∞: Выберем x = 7, тогда (7^2 - 1)(7 + 6) = (49 - 1)(13) = 48 * 13 = 624, что больше нуля.

Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется: -∞ < x < -6 и -1 < x < 1.

b) Рассмотрим неравенство (x + 5)^2(x^2 - 5x) ≤ 0.

1. Найдем критические точки: x + 5 = 0 => x = -5 x^2 - 5x = 0 => x(x - 5) = 0 => x = 0 и x = 5

2. Разобьем область числовой прямой на интервалы: -∞ -5 0 5 +∞

3. Определим знак выражения (x + 5)^2(x^2 - 5x) на каждом интервале:

   -∞: Выберем x = -6, тогда (-6 + 5)^2(-6^2 - 5 * -6) = (-1)^2(36 + 30) = 1 * 66 = 66, что больше нуля. -5: Выберем x = -2, тогда (-2 + 5)^2(-2^2 - 5 * -2) = (3)^2(4 + 10) = 9 * 14 = 126, что больше нуля. 0: Выберем x = 3, тогда (3 + 5)^2(3^2 - 5 * 3) = (8)^2(9 - 15) = 64 * (-6) = -384, что меньше или равно нулю. 5: Выберем x = 6, тогда (6 + 5)^2(6^2 - 5 * 6) = (11)^2(36 - 30) = 121 * 6 = 726, что больше нуля. +∞: Выберем x = 7, тогда (7 + 5)^2(7^2 - 5 * 7) = (12)^2(49 - 35) = 144 * 14 = 2016, что больше нуля.

Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется: -∞ < x < -5, 0 ≤ x ≤ 5.

Итак, для неравенства а) интервалы, где оно выполняется, это: -∞ < x < -6 и -1 < x < 1. Для неравенства б) интервалы, где оно выполняется, это: -∞ < x < -5 и 0 ≤ x ≤ 5.