Question

Z=(2x-y)/(x+3y) найти частые производные распишите пожалуйста подробное решение (чтобы разобраться со всеми тонкостями)​

Answer 1

Ответ:

$z=\dfrac{2x-y}{x+3y}\\\\\\\\z'_{x}=\dfrac{(2x-y)'_{x}\cdot (x+3y)-(2x-y)\cdot (x+3y)'_{x}}{(x+3y)^2}=\dfrac{2\cdot (x+3y)-(2x-y)\cdot 1}{(x+3y)^2}=\\\\\\=\dfrac{2x+6y-2x+y}{(x+3y)^2}=\dfrac{7y}{(x+3y)^2}$

$z'_{y}=\dfrac{(2x-y)'_{y}\cdot (x+3y)-(2x-y)\cdot (x+3y)'_{y}}{(x+3y)^2}=\dfrac{-1\cdot (x+3y)-(2x-y)\cdot 3}{(x+3y)^2}=\\\\\\=\dfrac{-x-3y-6x+3y}{(x+3y)^2}=-\dfrac{7x}{(x+3y)^2}$

Answer 2

Для нахождения частных производных функции Z(x, y) = (2x - y) / (x + 3y) по переменным x и y, мы будем использовать правила дифференцирования. Чтобы вычислить частные производные, мы применим следующие шаги:

1. Найдем частную производную по x (dZ/dx):

   Для этого используем правило дифференцирования частного, которое гласит, что производная отношения двух функций равна разности производной числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

   dZ/dx = [(d/dx)(2x - y)] / (x + 3y) - [(2x - y)(d/dx)(x + 3y)] / (x + 3y)^2

   Теперь вычислим производные числителя и знаменателя:

   (d/dx)(2x - y) = 2 - 0 (поскольку y - это константа относительно x) (d/dx)(x + 3y) = 1 + 0 (поскольку y - это константа относительно x)

   Подставим эти значения в формулу:

   dZ/dx = (2 - 0) / (x + 3y) - (2x - y) / (x + 3y)^2

   dZ/dx = 2 / (x + 3y) - (2x - y) / (x + 3y)^2

2. Теперь найдем частную производную по y (dZ/dy):

   Используем правило дифференцирования частного так же, как в предыдущем случае:

   dZ/dy = [(d/dy)(2x - y)] / (x + 3y) - [(2x - y)(d/dy)(x + 3y)] / (x + 3y)^2

   Вычислим производные числителя и знаменателя:

   (d/dy)(2x - y) = -1 - 1 (поскольку y дифференцируется по y) (d/dy)(x + 3y) = 0 + 3 (поскольку x - это константа относительно y)

   Подставим эти значения в формулу:

   dZ/dy = (-1 - 1) / (x + 3y) - (2x - y) / (x + 3y)^2

   dZ/dy = -2 / (x + 3y) - (2x - y) / (x + 3y)^2

Таким образом, частные производные функции Z(x, y) по переменным x и y равны:

dZ/dx = 2 / (x + 3y) - (2x - y) / (x + 3y)^2 dZ/dy = -2 / (x + 3y) - (2x - y) / (x + 3y)^2