Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y''-4y'+8y=0 Даю 50 баллов.

Answer 1

Ответ:

Решение на фотографии:

Answer 2

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет характеристическое уравнение:

r^2 - 4r + 8 = 0

Для нахождения корней этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * 8 = 16 - 32 = -16

Поскольку дискриминант D отрицателен, характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

r1 = (4 + √(-16)) / 2 = 4/2 + (i√16)/2 = 2 + 4i r2 = (4 - √(-16)) / 2 = 4/2 - (i√16)/2 = 2 - 4i

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

y(t) = e^(2t) * (A * cos(4t) + B * sin(4t))

Где A и B - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий, если они даны. Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Answer 3

Дифференциальное уравнение второго порядка, которое вам дано, выглядит следующим образом:

y'' - 4y' + 8y = 0

Чтобы найти общее решение этого уравнения, мы можем сначала найти характеристическое уравнение, а затем решить его. Характеристическое уравнение связано с уравнением вида:

ay'' + by' + cy = 0

где в данном случае a = 1, b = -4 и c = 8.

Характеристическое уравнение будет иметь следующий вид:

λ^2 - 4λ + 8 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение для λ с использованием дискриминанта D:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16

Дискриминант отрицателен, что означает, что у нас есть комплексные корни:

λ = (4 ± √(-16)) / (2*1) = (4 ± 4i) / 2 = 2 ± 2i

Теперь мы знаем корни характеристического уравнения, и общее решение дифференциального уравнения можно записать следующим образом:

y(t) = e^(2t)(A * cos(2t) + B * sin(2t))

Где A и B - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если таковые имеются. Таким образом, это общее решение данного дифференциального уравнения.