Question

Розв'язати рівнянняx^2+x-20/x^2-9 менше рівне 0

Answer 1

Відповідь:фото

Пояснення:

Answer 2

Для розв'язання нерівності $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 9} \leq 0$, спершу знайдемо значення x, при яких чисельник та знаменник змінюють знак.

1. Знайдемо нулі чисельника $x^2 + x - 20 = 0$:

   Розв'яжемо квадратне рівняння: $x^2 + x - 20 = 0$

   Розділимо його на (x + 5) і (x - 4): $(x + 5)(x - 4) = 0$

   Знаходимо нулі: x + 5 = 0 => x = -5 x - 4 = 0 => x = 4

2. Знайдемо нулі знаменника $x^2 - 9 = 0$:

   Розв'яжемо квадратне рівняння: $x^2 - 9 = 0$

   Розділимо його на (x + 3) і (x - 3): $(x + 3)(x - 3) = 0$

   Знаходимо нулі: x + 3 = 0 => x = -3 x - 3 = 0 => x = 3

Тепер ми знаємо, що чисельник має нулі в точках x = -5 і x = 4, а знаменник має нулі в точках x = -3 і x = 3.

Тепер побудуємо таблицю знаків:

• Візьмемо інтервал x < -5. Перевіримо знак чисельника та знаменника на цьому інтервалі:

  • Чисельник: (-5)^2 + (-5) - 20 = 0 - 5 - 20 < 0
  • Знаменник: (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0

  Оскільки чисельник від'ємний, а знаменник рівний нулю, то в цьому інтервалі вираз не визначений (розрив).

• Візьмемо інтервал -5 < x < -3. Перевіримо знак чисельника та знаменника на цьому інтервалі:

  • Чисельник: (-4)^2 + (-4) - 20 = 16 - 4 - 20 < 0
  • Знаменник: Знаменник на цьому інтервалі не має нулів, і він завжди позитивний.

  Оскільки чисельник від'ємний, а знаменник позитивний, то в цьому інтервалі вираз від'ємний.

• Візьмемо інтервал -3 < x < 3. Перевіримо знак чисельника та знаменника на цьому інтервалі:

  • Чисельник: На цьому інтервалі чисельник завжди позитивний, оскільки $x^2 + x - 20$ має два нулі в точках -5 і 4, і між ними він завжди позитивний.
  • Знаменник: Знаменник на цьому інтервалі завжди позитивний, оскільки $x^2 - 9$ завжди більше 0 на цьому інтервалі.

  Оскільки чисельник і знаменник обидва позитивні, то в цьому інтервалі вираз теж позитивний.

• Візьмемо інтервал 3 < x < 4. Перевіримо знак чисельника та знаменника на цьому інтервалі:

  • Чисельник: (4)^2 + (4) - 20 = 16 + 4 - 20 = 20 - 20 = 0
  • Знаменник: Знаменник на цьому інтервалі не має нулів, і він завжди позитивний.

  Оскільки чисельник дорівнює нулю, а знаменник позитивний, то в цьому інтервалі вираз дорівнює нулю.

• Візьмемо інтервал x > 4. Перевіримо знак чисельника та знаменника на цьому інтервалі:

  • Чисельник: На цьому інтервалі чисельник завжди позитивний, оскільки $x^2 + x - 20$ завжди більше 0 на цьому інтервалі.
  • Знаменник: Знаменник на цьому інтервалі завжди позитивний, оскільки $x^2 - 9$ завжди більше 0 на цьому інтервалі.

  Оскільки чисельник і знаменник обидва позитивні, то в цьому інтервалі вираз теж позитивний.

Тепер ми можемо побудувати інтервали, в яких нерівність виконується:

• На інтервалі -5 < x < -3 вираз від'ємний (≤ 0).
• На інтервалі 3 < x < 4 вираз дорівнює нулю (= 0).

Отже, розв'язком нерівності $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 9} \leq 0$ є інтервали: -5 < x < -3 і 3 < x < 4.