Question

Решите уравнения1)sin^2x+√3sinxcosx=02)2cos^2x-cosx-1=0​

Answer 1

Ответ:

1.

$\sin {}^{2} (x) + \sqrt{3} \sin(x) \cos(x) = 0 \\ \sin(x) (\sin(x) + \sqrt{3} \cos(x)) = 0 \\ \\ \sin(x) = 0 \\ x_1 = \pi \: n \\ \\ \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x) = 0 \\ | \div \cos(x) \ne 0\\ tgx + \sqrt{3} = 0 \\ tgx = - \sqrt{3} \\ x_2 = - \frac{\pi}{3} + \pi \: n \\ \\n \in \:Z$

2.

$2 \cos {}^{2} (x) - \cos(x) - 1 = 0 \\ \\ \cos(x) = t \\ \\ 2t {}^{2} - t - 1 = 0 \\ D = 1 + 8 = 9 \\ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \\ t_2 = - \frac{1}{2} \\ \\ \cos(x) = 1 \\ x_1 = 2\pi \: n \\ \\ \cos(x) = - \frac{1}{2} \\ x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ \\ n\in \:Z$

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по порядку.

1. Уравнение sin^2(x) + √3sin(x)cos(x) = 0

Для начала, давайте заметим, что у нас есть смешанный член с произведением sin(x) и cos(x), и это может быть непросто. Мы можем воспользоваться формулой для удвоенного угла для sin(2x) и преобразовать уравнение следующим образом:

sin^2(x) + √3sin(x)cos(x) = 0

sin^2(x) + √3/2 * 2sin(x)cos(x) = 0

sin^2(x) + √3/2 * sin(2x) = 0

Теперь мы можем преобразовать это уравнение:

sin^2(x) + √3/2 * sin(2x) = 0

sin^2(x) + √3/2 * 2sin(x)cos(x) = 0

sin^2(x) + √3sin(x)cos(x) = 0

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно:

sin^2(x) + √3/2 * sin(2x) = 0

Теперь давайте рассмотрим это уравнение как два отдельных уравнения:

1. sin^2(x) = 0

Это уравнение имеет единственное решение: x = 0.

2. √3/2 * sin(2x) = 0

Умножим обе стороны на 2/√3:

sin(2x) = 0

Теперь найдем решения для sin(2x). У sin(2x) есть нулевые значения при следующих значениях угла:

2x = 0, π, 2π, 3π, ...

Теперь делим все эти значения на 2, чтобы получить решения для x:

x = 0, π/2, π, 3π/2, ...

Таким образом, решения исходного уравнения 1) sin^2(x) + √3sin(x)cos(x) = 0: x = 0, π/2, π, 3π/2, ...

2. Уравнение 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

Давайте решим это уравнение. Сначала представим его в квадратном уравнении вида ac^2 + bc + c = 0, где a = 2, b = -1 и c = -1:

2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

Теперь воспользуемся квадратным уравнением:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь используем формулу для решения квадратных уравнений:

cos(x) = (-b ± √D) / (2a)

cos(x) = (1 ± 3) / (4)

1. cos(x) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1
2. cos(x) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Таким образом, у нас есть два возможных значения cos(x): 1 и -1/2.

1. cos(x) = 1 Это значение косинуса соответствует углу 0°, и в радианах x = 0.

2. cos(x) = -1/2 Это значение косинуса соответствует углам 120° и 240°, и в радианах x = 2π/3 и x = 4π/3.

Таким образом, решения уравнения 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0: x = 0, 2π/3, 4π/3.