Question

Доведіть що не існує натурального значенн n, при якому значення виразу (8n+5)(2n+1)-(4n+1)^2ділилось б націло на 5

Answer 1

(8n+5)(2n+1)-(4n+1)²=((10n+5)-2n)(2n+1)-(5n+(1-n))²=

(10n+5)(2n+1)-2n(2n+1)-25n^2-10n(1-n)-(n-1)^2=

5A-4n²-2n-n^2+2n-1=5A-5n²-1=5B-1.

Тем самым доказано, что это число не делится на 5.

В процессе мы упрощали выражение, выделяя слагаемые, делящиеся на 5 и обозначая их  5A и 5B.

Answer 2

Для доведення цього твердження, ми можемо використовувати теорію ділення націло. Ми хочемо знайти натуральне число n таке, що вираз (8n+5)(2n+1) - (4n+1)^2 буде ділитися націло на 5.

Почнемо з виразу (8n+5)(2n+1) - (4n+1)^2:

(8n+5)(2n+1) - (4n+1)^2 = 16n^2 + 8n + 10n + 5 - (16n^2 + 8n + 1)

Тепер спростимо вираз:

16n^2 + 18n + 5 - 16n^2 - 8n - 1

16n^2 - 16n^2 + 18n - 8n + 5 - 1

10n + 4

Цей вираз не має членів, які діляться націло на 5, оскільки жоден з них не має кратного 5. Всі члени мають залишок 0 при діленні на 5, окрім останнього члена 4, який має залишок 4 при діленні на 5.

Отже, для жодного натурального числа n вираз (8n+5)(2n+1) - (4n+1)^2 не буде ділитися націло на 5.