Question

Розв'яжіть нерівність f' (x) <0 , якщо f (x) = 3x - 5 x²+ x³​

Answer 1

Ответ:

$f(x)=3x-5x^2+x^3\\\\f'(x)=3-10x+3x^2\ \ ,\\\\f'(x)$

Answer 2

Для того щоб знайти точки, де похідна функції f(x) менше нуля, спершу знайдемо похідну функції f(x) та знайдемо її нулі. Після цього ми визначимо інтервали, на яких похідна менше нуля.

Спершу знайдемо похідну функції f(x):

f(x) = 3x - 5x² + x³

f'(x) = d/dx (3x - 5x² + x³)

f'(x) = 3 - 10x + 3x²

Тепер знайдемо нулі цієї похідної:

0 = 3 - 10x + 3x²

Перепишемо це рівняння у вигляді квадратного рівняння та розв'яжемо його:

3x² - 10x + 3 = 0

Використаємо квадратне рівняння для знаходження коренів. Ми можемо використати квадратне рівняння:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

де a = 3, b = -10 і c = 3. Підставляючи ці значення, отримаємо:

x = (10 ± √((-10)² - 4 * 3 * 3)) / (2 * 3)

x = (10 ± √(100 - 36)) / 6

x = (10 ± √64) / 6

x = (10 ± 8) / 6

Таким чином, маємо два корені:

x₁ = (10 + 8) / 6 = 3

x₂ = (10 - 8) / 6 = 1/3

Тепер ми можемо скласти інтервали, на яких похідна f'(x) менше нуля. Щоб це зробити, можна взяти будь-яку точку на кожному інтервалі і перевірити знак похідної f'(x) в цих точках. Ми знаємо, що похідна змінює знак при коренях рівняння f'(x) = 0, тобто x = 1/3 і x = 3.

1. Для x < 1/3: Виберемо x = 0, тоді f'(0) = 3 - 0 + 0 > 0.
2. Для 1/3 < x < 3: Виберемо x = 1, тоді f'(1) = 3 - 10 + 3 = -4 < 0.
3. Для x > 3: Виберемо x = 4, тоді f'(4) = 3 - 40 + 48 = 11 > 0.

Отже, похідна f'(x) менше нуля на інтервалі (1/3, 3).