Question

Помогите пожалуйста решить уравнение y '+x^3√ y=3 y

Answer 1

.................................................

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, можно воспользоваться методом разделения переменных. Уравнение выглядит следующим образом:

y' + x^3√y = 3y

Для начала, давайте разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения:

y' - 3y = -x^3√y

Теперь, мы можем попытаться привести уравнение к разделяющимся переменным. Для этого давайте поделим обе стороны на -3y и переместим члены, содержащие y, на одну сторону:

(y' / -3y) = (x^3√y / -3y) - 1

Теперь давайте заметим, что слева у нас есть производная логарифма натурального числа ln(y), а справа можем сгруппировать x^3 и √y:

ln(y)' = -1/3 * (x^3/√y) - 1

Теперь можем взять интегралы от обеих сторон:

∫(1/ln(y)) d(ln(y)) = ∫(-1/3 * (x^3/√y) - 1) dx

Интегрируя левую сторону, получим:

ln|ln(y)| = -1/3 * ∫(x^3/√y) dx - ∫1 dx

Давайте теперь рассмотрим правую сторону уравнения:

-1/3 * ∫(x^3/√y) dx - ∫1 dx

Для интегрирования левой части правой стороны, давайте представим x^3/√y как x^(7/2)/√y:

-1/3 * ∫(x^3/√y) dx = -1/3 * ∫(x^(7/2)/√y) dx

Теперь, чтобы проинтегрировать это, мы можем добавить 1 к степени x и разделить на новую степень. Получим:

-1/3 * ∫(x^(7/2)/√y) dx = -1/3 * (-2/5 * x^(9/2)/√y) + C

Интегрируя константу -1, получим:

∫1 dx = x + C2

Теперь мы можем объединить все это в одно уравнение:

ln|ln(y)| = -1/3 * (-2/5 * x^(9/2)/√y) + x + C2

Мы получили общее уравнение в неявной форме. Решение дифференциального уравнения может быть получено в этой форме.