Question

Помогите пж У дроби с положительнім числителем и знаменателем числятель на 4 меньше ее знаменателя. Если єту дробь добавить к обратной ей дроби, то получим 2 16/45. Найдите среднее арифметическое числителя и знаменателя дроби.

Answer 1

Пусть $x$ - числитель, тогда

      $x+4$ - знаменатель

      $\frac{x}{x+4}$   - данная дробь.

      $\frac{x+4}{x}$   - обратная дробь.

Уравнение

$\frac{x}{x+4} +\frac{x+4}{x}=2\frac{16}{45}$                      (ОДЗ:  $x>0$)

$\frac{x}{x+4} +\frac{x+4}{x}=\frac{106}{45}$

$\frac{x}{x+4} +\frac{x+4}{x}-\frac{106}{45} =0$

$\frac{45x*x+45(x+4)^2-106x(x+4)}{45x(x+4)} =0$

$45x^2+45x^{2} +45*8x+45*16-106x^2-4*106x=0$

$-16x^{2} -64x+720=0$ | :(-16)

$x^{2} +4x-45=0$

$D=16-4*1*(-45)=16+180=196=14^{2}$

$x_1=\frac{-4-14}{2}=-9$

              $x_1=-9$  не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=\frac{-4+14}{2}=5$  

            $x_2=5$   удовлетворяет ОДЗ.

$5$  -  числитель

$5+4=9$  - знаменатель

$\frac{5+9}{2}=7$  - среднее арифметическое числителя и знаменателя дроби.

Ответ:  $7$

Answer 2

Давайте обозначим данную дробь как $\frac{a}{b}$, где $a$ - числитель, а $b$ - знаменатель.

У нас есть два условия:

1. У дроби с положительным числителем и знаменателем числитель на 4 меньше её знаменателя:

   $a = b - 4$

2. Если эту дробь добавить к обратной ей дроби, то получим $\frac{2}{45}$. Обратная дробь - это $\frac{b}{a}$.

   $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{2}{45}$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала выразим $a$ из первого уравнения:

$a = b - 4$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{b - 4}{b} + \frac{b}{b - 4} = \frac{2}{45}$

Далее, умножим обе стороны уравнения на $45b(b - 4)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$45(b - 4) + 45b = 2b(b - 4)$

Распишем это уравнение:

$45b - 180 + 45b = 2b^2 - 8b$

Упростим:

$90b - 180 = 2b^2 - 8b$

$0 = 2b^2 - 8b - 90b + 180$

$0 = 2b^2 - 98b + 180$

Делаем дальнейшие вычисления, используя квадратное уравнение. Мы можем разделить обе стороны на 2, чтобы упростить его:

$0 = b^2 - 49b + 90$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы хотим найти значения $b$, которые удовлетворяют уравнению. Можем воспользоваться дискриминантом:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -49$, и $c = 90$.

$D = (-49)^2 - 4(1)(90)$

$D = 2401 - 360$

$D = 2041$

Дискриминант $D$ положителен, поэтому у нас есть два корня:

$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

$b_1 = \frac{49 + \sqrt{2041}}{2}$

$b_2 = \frac{49 - \sqrt{2041}}{2}$

Так как $b$ (знаменатель) должен быть положительным числом, мы берем $b_1$:

$b = \frac{49 + \sqrt{2041}}{2}$

Теперь мы можем найти числитель $a$ с использованием первого уравнения:

$a = b - 4 = \frac{49 + \sqrt{2041}}{2} - 4$

Теперь у нас есть числитель $a$ и знаменатель $b$. Мы можем найти среднее арифметическое числителя и знаменателя:

$\text{Среднее} = \frac{a + b}{2}$

Подставим значения:

<