Question

Необходимо решить неравенство √(1+2cos(x))>sin(x)

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{1+2cosx}>sinx\ \ \Leftrightarrow \ \ \ \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}sinx\geq 0\\1+2cosx>sin^2x\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}sinxsin^2x\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}2\pi n\leq x\leq \pi +2\pi n\ ,\ n\in Z\\1-sin^2x+2cosx>0\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}2\pi n\leq x\leq \pi +2\pi n\ ,\ n\in Z\\cos^2x+2cosx>0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}2\pi n\leq x\leq \pi +2\pi n\ ,\ n\in Z\\cosx\, (cosx+2)>0\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}2\pi n\leq x\leq \pi +2\pi n\ ,\ n\in Z\\cosx0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}2\pi n\leq x\leq \pi +2\pi n\ ,\ n\in Z\\-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$

$b)\ \ \left\{\begin{array}{l}sinx$

$></p> <p></p> <p><img src=$

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте сначала преобразуем его, чтобы упростить выражение.

Исходное неравенство:

$$\sqrt{1 + 2\cos(x)} > \sin(x)$$

Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$1 + 2\cos(x) > \sin^2(x)$$

Используем тригонометрическую идентичность $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, чтобы выразить $\sin^2(x)$ через $\cos(x)$:

$$1 + 2\cos(x) > 1 - \cos^2(x)$$

Упростим выражение:

$$2\cos(x) > -\cos^2(x)$$

Теперь преобразуем это квадратное неравенство в стандартную форму $ax^2 + bx + c > 0$:

$$\cos^2(x) + 2\cos(x) > 0$$

Факторизуем левую часть:

$$\cos(x)(\cos(x) + 2) > 0$$

Таким образом, получаем два возможных случая для удовлетворения неравенства:

1. $\cos(x) > 0$ и $\cos(x) + 2 > 0$.

   Из первого неравенства следует, что $0 < x < \frac{\pi}{2}$ или $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

   Из второго неравенства следует, что $\cos(x) > -2$, что выполняется для всех значений $x$.

2. $\cos(x) < 0$ и $\cos(x) + 2 < 0$.

   Из первого неравенства следует, что $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ или $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$.

   Из второго неравенства следует, что $\cos(x) < -2$, что невозможно, так как косинус ограничен значением от -1 до 1.

Таким образом, решение неравенства $\sqrt{1 + 2\cos(x)} > \sin(x)$ это: $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2})$