Question

Решить уравнение y''+y'+y=e^x

Answer 1

Ответ:

$y''+y'+y=e^{x}\\\\a)\ \ k^2+k+1=0\ \ ,\ \ D=1-4=-3\ \ ,\ \ k_{1,2}=\dfrac{-1\pm i\sqrt3}{2}\\\\y_{obshee}=e^{-\frac{x}{2}}\cdot \Big(C_1\, cos\dfrac{\sqrt3}{2}\, x+C_2\, sin\dfrac{\sqrt3}{2}\, x\Big)\\\\\\b)\ \ f(x)=e^{x}\ \ \to \ \ \ y_{chastn.}=Ae^{x}\\\\ y_{chastn.}'=Ae^{x}\ \ ,\ \ y_{chastn.}'=Ae^{x}\\\\ y_{chastn.}''+ y_{chastn.}'+ y_{chastn.}=3Ae^{x}=e^{x}\ \ \to \ \ A=\dfrac{1}{3}$

$c)\ \ y_{obsh.neodn.}=e^{-\frac{x}{2}}\cdot \Big(C_1\, cos\dfrac{\sqrt3}{2}\, x+C_2\, sin\dfrac{\sqrt3}{2}\, x\Big)+\dfrac{1}{3}\, e^{x}$

Answer 2

Для решения данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которое имеет вид:

y'' + y' + y = e^x,

мы сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' + y' + y = 0.

Характеристическое уравнение для этой однородной части имеет вид:

r^2 + r + 1 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = 1^2 - 411 = 1 - 4 = -3.

Дискриминант отрицательный, что означает, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Мы можем найти корни, используя формулу для комплексных чисел:

r1 = (-1 + √3i)/2, r2 = (-1 - √3i)/2.

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h = c1 * e^(r1x) + c2 * e^(r2x),

где c1 и c2 - произвольные константы.

Теперь мы можем найти частное решение неоднородного уравнения. Мы видим, что правая часть неоднородного уравнения равна e^x, поэтому предположим частное решение в виде:

y_p = A * e^x,

где A - это неизвестная константа, которую нужно найти. Теперь мы можем найти производные y_p:

y_p' = A * e^x, y_p'' = A * e^x.

Подставим y_p, y_p', и y_p'' в исходное уравнение:

A * e^x + A * e^x + A * e^x = e^x.

Теперь объединим все члены справа:

3A * e^x = e^x.

Теперь делим обе стороны на 3e^x:

A = 1/3.

Теперь мы знаем, что A = 1/3, и можем записать частное решение:

y_p = (1/3) * e^x.

Теперь, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, сложим общее решение однородного уравнения (y_h) и частное решение неоднородного уравнения (y_p):

y = y_h + y_p = c1 * e^(r1x) + c2 * e^(r2x) + (1/3) * e^x,

где c1 и c2 - произвольные константы. Это и есть общее решение уравнения y'' + y' + y = e^x.