Question

Равносильны ли неравенства: 1)(x+2)(x^2+1)>0 и x+2>0 2) (x-3)^2>0 и |x-3|>0 3) (x-6)x ≥ x и x-6≥1​

Answer 1

Объяснение:

1)

$(x + 2) \times ( {x}^{2} + 1) > 0 \\ \\ x + 2 > 0 \\ {x}^{2} + 1 > 0 \\ \\ x > - 2 \\ x∈R \\ x∈( - 2; + ∞)$

$x + 2 > 0 \\ x > - 2 \\ x∈( - 2; + ∞)$

2)

${(x - 3)}^{2} > 0 \\ x - 3≠0 \\ x≠3 \\ x ∈ R \: \: ({3})$

$|x - 3| > 0 \\ x - 3≠0 \\ x≠3 \\ x ∈ R \: \: ({3})$

3)

$(x - 6)x \geqslant 0 \\ {x}^{2} - 6x \geqslant x \\ {x}^{2} - 6x - x \geqslant 0 \\ {x}^{2} - 7x \geqslant 0 \\ x(x - 7) \geqslant 0 \\ \\ x \geqslant 0 \\ x - 7 \geqslant 0 \\ \\ x \geqslant 0 \\ x \geqslant 7 \\ x ∈ ( - ∞,0)\:[7, + ∞)$

$x - 6 \geqslant 1 \\ x \geqslant 1 + 6 \\ x \geqslant 7 \\x∈[7, + ∞)$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из этих неравенств по отдельности:

1. (x+2)(x^2+1) > 0 и x+2 > 0:

Неравенство (x+2)(x^2+1) > 0 означает, что произведение (x+2) и (x^2+1) положительное. Для того чтобы произведение двух чисел было положительным, необходимо, чтобы оба множителя имели одинаковый знак.

Если x+2 > 0 (то есть x > -2), то оба множителя положительные. Если x+2 < 0 (то есть x < -2), то оба множителя отрицательные. Таким образом, неравенство (x+2)(x^2+1) > 0 выполняется, если x > -2.

Теперь перейдем ко второму неравенству x+2 > 0. Оно выполняется, если x > -2.

Итак, оба неравенства 1) (x+2)(x^2+1) > 0 и x+2 > 0 равносильны и выполняются при x > -2.

2. (x-3)^2 > 0 и |x-3| > 0:

Неравенство (x-3)^2 > 0 говорит о том, что квадрат разности (x-3) положителен, и это верно для всех x, кроме x = 3, где квадрат равен нулю.

Неравенство |x-3| > 0 означает, что абсолютное значение разности |x-3| больше нуля, что также верно для всех x, кроме x = 3.

Итак, оба неравенства 2) (x-3)^2 > 0 и |x-3| > 0 равносильны и выполняются для всех x, кроме x = 3.

3. (x-6)x ≥ x и x-6 ≥ 1:

Давайте рассмотрим первое неравенство: (x-6)x ≥ x. Если x = 0, то левая сторона равна 0, и неравенство выполняется. Если x ≠ 0, то мы можем разделить обе стороны на x, сохраняя знаки неравенства: x-6 ≥ 1. Это неравенство выполняется, если x ≥ 7.

Итак, первое неравенство (x-6)x ≥ x выполняется для всех x ≠ 0 и для x ≥ 7.

Второе неравенство x-6 ≥ 1 выполняется, если x ≥ 7.

Итак, оба неравенства 3) (x-6)x ≥ x и x-6 ≥ 1 равносильны и выполняются при x ≥ 7.