Question

Докажите равенство sin6°-sin42°-sin66°+sin78°=-0.5​

Answer 1

$\sin6^\circ-\sin42^\circ-\sin66^\circ+\sin78^\circ=\sin6^\circ-\sin66^\circ-(\sin42^\circ-\sin78^\circ)=$

$=2\sin\dfrac{6^\circ-66^\circ}{2}\cos\dfrac{6^\circ+66^\circ}{2}-2\sin\dfrac{42^\circ-78^\circ}{2} \cos\dfrac{42^\circ+78^\circ}{2} =$

$=2\sin(-30^\circ)\cos36^\circ-2\sin(-18^\circ) \cos60^\circ=$

$=-2\sin30^\circ\cos36^\circ+2\sin18^\circ \cos60^\circ=$

$=-2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \cos36^\circ+2\sin18^\circ\cdot \dfrac{1}{2} =\sin18^\circ-\cos36^\circ=$

$=\sin18^\circ-\sin(90^\circ-36^\circ)=\sin18^\circ-\sin54^\circ=$

$=2\sin\dfrac{18^\circ-54^\circ}{2} \cos\dfrac{18^\circ+54^\circ}{2}=2\sin(-18^\circ) \cos36^\circ=$

$=-2\sin18^\circ \cos36^\circ=-2\sin18^\circ \cos36^\circ\cdot \dfrac{2\cos18^\circ }{2\cos18^\circ}=$

$=- \dfrac{2\sin18^\circ \cos18^\circ\cdot2\cos36^\circ }{2\cos18^\circ}=- \dfrac{\sin36^\circ \cdot2\cos36^\circ }{2\sin(90^\circ-18^\circ)}=$

$=- \dfrac{2\sin36^\circ\cos36^\circ }{2\sin72^\circ}=- \dfrac{\sin72^\circ }{2\sin72^\circ}=-\dfrac{1}{2} =-0.5$

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение шаг за шагом, используя тригонометрические тождества.

Мы начнем с использования разности синусов:

1. sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Теперь применим это тождество к каждому из слагаемых:

a. Для sin(6° - 42°):

sin(6° - 42°) = sin(6°)cos(42°) - cos(6°)sin(42°)

b. Для sin(66° - 78°):

sin(66° - 78°) = sin(66°)cos(78°) - cos(66°)sin(78°)

Теперь давайте упростим выражения, используя значения синусов и косинусов для 6°, 42°, 66° и 78°. Эти значения можно найти в таблице тригонометрических функций или с использованием калькулятора. Найденные значения округлим до ближайшего тысячных.

sin(6°) ≈ 0.1056 cos(6°) ≈ 0.9945

sin(42°) ≈ 0.6691 cos(42°) ≈ 0.7431

sin(66°) ≈ 0.9135 cos(66°) ≈ 0.4067

sin(78°) ≈ 0.9781 cos(78°) ≈ 0.2087

Теперь подставим эти значения в наши уравнения:

a. Для sin(6° - 42°):

sin(6° - 42°) ≈ (0.1056 * 0.7431) - (0.9945 * 0.6691) ≈ 0.0785 - 0.6649 ≈ -0.5864

b. Для sin(66° - 78°):

sin(66° - 78°) ≈ (0.9135 * 0.2087) - (0.4067 * 0.9781) ≈ 0.1911 - 0.3986 ≈ -0.2075

Теперь сложим оба полученных значения:

-0.5864 - 0.2075 ≈ -0.7939

Теперь, учитывая, что у нас было минус в начальном утверждении (-0.5), мы можем изменить знак и получить:

-(-0.7939) ≈ 0.7939

Таким образом, доказано, что:

sin(6°) - sin(42°) - sin(66°) + sin(78°) ≈ 0.7939

Из этого следует, что данное уравнение неверно, так как результат не равен -0.5, а приближенно равен 0.7939.