Question

Исследуйте на четность функцию y=x*дирихле(x) дирихле = функция Дирихле

Answer 1

Ответ:

y нечетна

Объяснение:

Функция Дирихле — индикатор рациональных значений, то есть

$D(x)=\begin{cases}1,& x\in\mathbb Q\\0,& x\in\mathbb R\setminus \mathbb Q\end{cases}$

D(x) определена для всех вещественных чисел, так что область определения y симметрична относительно нуля.

D(x) — чётная функция: если x рационально, то и (-x) тоже рационально, а если x иррационально, то и (-x) тоже иррационально.

Тогда y(x) = x D(x) — нечётная функция:

$y(-x)=(-x)D(-x)=-xD(x)=-y(x)$

Answer 2

Функция Дирихле, обозначаемая как D(x), определена следующим образом:

D(x) = { 1, если x - рациональное число, 0, если x - иррациональное число. }

Функция Дирихле принимает значение 1, когда аргумент x является рациональным числом, и значение 0, когда аргумент x является иррациональным числом.

Теперь давайте рассмотрим функцию y(x) = x * D(x).

Если x - рациональное число, то D(x) = 1, и, следовательно, y(x) = x * 1 = x. В этом случае y(x) - это линейная функция от x.

Если x - иррациональное число, то D(x) = 0, и, следовательно, y(x) = x * 0 = 0. В этом случае y(x) всегда равно 0.

Таким образом, функция y(x) = x * D(x) не является четной функцией, поскольку она не обладает симметрией относительно начала координат (0,0). Эта функция будет линейной в тех точках, где x - рациональное число, и будет равной 0 во всех остальных точках.