Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^4-8x^2+9 на отрезке - 3;1

Answer 1

Ответ:

yмин=-7 при х=-2

Объяснение:выделим полный квадрат

y=(x^2-4)^2-7 ; (x^2-4)^2 неотрицательна и минимальное

значение равно 0 при х^2=4

x^2-4=0   тогда в точках x=+-2 (x^2-4)^2=0 и значение

y=(x^2-4)^2-7=-7

Точка х=-2 входит в наш отрезок [-3;1], находим значения на концах отрезка

y(1)=9-7=2

y(-3)=18

Из трех точек выбираем минимум y(1)=2  y(-2)=-7  y(-3)=18

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции y = x^4 - 8x^2 + 9 на отрезке [-3, 1], мы сначала найдем критические точки функции, а затем определим, где функция достигает своего минимума на данном отрезке.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = 4x^3 - 16x

2. Решим уравнение y'(x) = 0, чтобы найти критические точки: 4x^3 - 16x = 0

Вынесем общий множитель 4x: 4x(x^2 - 4) = 0

Теперь решим уравнение x^2 - 4 = 0: x^2 = 4

Отсюда получаем два значения x: x1 = 2 x2 = -2

Это критические точки функции.

3. Теперь найдем значение функции в данных точках и на концах отрезка [-3, 1]: y(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 9 = 81 - 72 + 9 = 18 y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 9 = 16 - 32 + 9 = -7 y(1) = 1^4 - 8(1)^2 + 9 = 1 - 8 + 9 = 2

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-3, 1] равно -7 и достигается в точке x = -2.