Question

Найдите сумму всех х и у, являющихся решением системы x^3+y^3 =35.x^2y+xy^2=30Пожалуйста объясните подробнее. Спасибо за ответ)​

Answer 1

Дана система:

{x^3+y^3 =35.

{x^2y+xy^2=30.

Выполним преобразования:

x^3+y^3 = (x + y)(x² - xy + y²) = 35.

x^2y+xy^2 = xy(x + y) = 30.

Разделим левые и правые части уравнений друг на друга:

x² - xy + y²

     xy              = 35/30 = 7/6.

Разделим слагаемые числителя на знаменатель.

(x/y) - 1 + (y/x) = 7/6.

Введём замену: (x/y) = t.

Тогда t - 1 + (1/t) = 7/6.

(t² - t + 1)/t = 7/6.

Используем свойство пропорции.

6t² - 6t + 6 = 7t.

Получаем квадратное уравнение:

6t² - 13t + 6 = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-13)^2-4*6*6=169-4*6*6=169-24*6=169-144=25;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(√25-(-13))/(2*6)=(5-(-13))/(2*6)=(5+13)/(2*6)=18/(2*6)=18/12=3/2;

t_2=(-√25-(-13))/(2*6)=(-5-(-13))/(2*6)=(-5+13)/(2*6)=8/(2*6)=8/12=2/3.

Обратная замена.

х/у = 2/3. Отсюда х1 = 2, у1 = 3.

х/у = 3/2. Отсюда х2 = 3, у2 = 2.

Ответ: (3; 2), (2;3).

Answer 2

Это довольно интересная система уравнений! Давайте рассмотрим её внимательно.

У нас есть два уравнения:

1. $x^3 + y^3 = 35$
2. $x^2y + xy^2 = 30$

Мы можем попробовать решить эту систему. Давайте выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Если мы поделим второе уравнение на $xy$, получится:

$x + y = \frac{30}{xy}$

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую из этого уравнения и подставить в первое уравнение:

$x^3 + y^3 = 35$

Подставим $y = \frac{30}{x} - x$ (из второго уравнения) в первое:

$x^3 + \left(\frac{30}{x} - x\right)^3 = 35$

Теперь у нас есть уравнение относительно одной переменной. После решения этого уравнения, мы найдем значения $x$ и $y$, а затем сможем найти их сумму.

Может быть, я упустил какие-то подробности. Что скажешь?