Question

Исследовать функцию y=4x^4-6x^3 и построить график функции (с подробным решением пожалуйста) СРОЧНО!

Answer 1

Объяснение:

$\displaystyle y=4x^4-6x^3$

1) ОДЗ: х∈R

2) Четность, нечетность:

$\displaystyle y(-x)=4*(-x)^4-6(-x)^3=4x^4+6x^3\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3) Нули функции (значения аргумента при которых функция равна нулю):

$\displaystyle 4x^4-6x^3=0\\2x^3(2x-3)=0\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=1,5$

4) Функция непрерывна, асимптот нет.

5) Возрастание, убывание:

Найдем производную, приравняем ее к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знаки производной на промежутках. Если положительна - функция возрастает, отрицательна - убывает.

$\displaystyle y'(x)=4*4x^3-6*3x^2=16x^3-18x^2=2x^2(8x-9)\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x=\frac{9}{8}$

(см.рис)

Функция убывает при х∈(-∞; 9/8], возрастает при х∈[9/8; +∞)

$\displaystyle x_{min}=\frac{9}{8}\\\\y_{min}=y\left(\frac{9}{8}\right)\approx -2,14$

6) Выпуклость, вогнутость:

Найдем вторую производную, приравняем ее к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знаки второй производной на промежутках. Если положительна - функция вогнута, отрицательна - выпукла.

$\displaystyle y''(x)=16*3x^2-18*2x=48x^2-36x=12x(4x-3)\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=0,75$

(см. рис)

$\displaystyle y_{per}=y(0)=0;\;\;\;y_{per}=y(0,75)\approx -1,27$

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию y = 4x^4 - 6x^3 и построим ее график. Для начала, мы проведем анализ основных характеристик этой функции, таких как экстремумы, асимптоты, интервалы возрастания и убывания, и значения функции на некоторых ключевых точках.

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (4x^4 - 6x^3) = 16x^3 - 18x^2.

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 16x^3 - 18x^2 = 0. 2x^2(8x - 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 9/8. Эти точки называются критическими точками.

3. Далее, найдем знаки производной на интервалах между критическими точками и за пределами этих точек. Для этого построим таблицу знаков:

| Интервалы x | Производная y' | |-------------------|-------------------| | (-∞, 0) | - | | (0, 9/8) | + | | (9/8, +∞) | + |

Знак "+" означает, что производная положительна, а знак "-" означает, что производная отрицательна.

4. Исследуем наличие экстремумов. Точка (0, 0) - это локальный минимум, а точка (9/8, -81/256) - это локальный максимум.

5. Теперь найдем горизонтальные асимптоты. Поскольку при x -> ±∞, y -> ±∞, функция не имеет горизонтальных асимптот.

6. Построим график функции на основе полученной информации:

- Функция имеет локальный минимум в точке (0, 0) и локальный максимум в точке (9/8, -81/256). - Функция возрастает на интервале (0, 9/8) и убывает на интервале (-∞, 0) и (9/8, +∞).

Теперь мы готовы построить график функции. Я, к сожалению, не могу вставить графики в текстовом формате, но вы можете использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra, Desmos, Excel или любой другой удобный инструмент. Введите уравнение функции y = 4x^4 - 6x^3 и используйте полученную информацию, чтобы построить график на указанных интервалах с учетом локальных экстремумов.