Question

Может ли выражение x^2-2xy+3y^2-2x-10y+20 принимать отрицательное значение?​

Answer 1

Конечно, такую задачу можно решать с помощью производной, но если можно обойтись без нее, лучше так и сделать.

$x^2-2xy+3y^2-2x-10y+20=(x-y)^2-2(x-y)+2y^2-12y+20=$

$=\left((x-y)^2-2(x-y)+1\right)+2(y^2-6y+9)+1=(x-y-1)^2+2(y-3)^2+1\ge 1$ как сумма двух неотрицательных величин и единицы. То есть мы доказали не только то, что это выражение не может принимать отрицательные значения, но и значения, меньшие 1.

Answer 2

Да, это выражение может принимать отрицательное значение, в зависимости от значений переменных x и y.

Выражение x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x - 10y + 20 представляет собой квадратное уравнение относительно переменных x и y. Его значение будет отрицательным, если оно имеет действительные корни и эти корни приводят к отрицательным значениям выражения.

Для определения, когда выражение отрицательно, вы можете использовать метод дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня, и значение выражения будет отрицательным при некоторых значениях x и y.

Однако, чтобы точно определить, когда выражение отрицательно, нужно знать значения коэффициентов a, b и c в вашем выражении.