Question

F(x)=10x-_7 √x. √ x должен быть с низу 7киПомогите пожалуйста надеюсь поймёте а то фоток нету надо найти первообразной для функции с решением

Answer 1

Решение и ответ:

$\displaystyle \[f(x)=10x-\frac{7}{{\sqrt x}}\]$

$\displaystyle F(x)=\[\int {\left( {10x-\frac{7}{{\sqrt x}}}\right)}dx=\int {10x dx-\int{\frac{7}{{\sqrt x}}dx=10}}\int {x dx-7\int {{x^{-\frac{1}{2}}}dx}}=\]$

$\displaystyle \[10\cdot \frac{{{x^{1+1}}}}{{1+1}}-7\cdot \frac{{{x^{-\frac{1}{2}+1}}}}{{\frac{1}{2}}}+C = 10\cdot \frac{{{x^2}}}{2}-7\cdot 2{x^{\frac{1}{2}}}+C= \boxed{5{x^2}-14{x^{\frac{1}{2}}}+C}\]$

Answer 2

Для нахождения первообразной (интеграла) для данной функции $F(x) = 10x - \frac{7}{\sqrt{7x}}$, мы можем разбить эту функцию на две части и затем проинтегрировать каждую из них отдельно. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

1. $\int 10x \, dx$: Для интегрирования $10x$ по $x$, мы используем правило степенного интеграла. Интеграл от $x$ по отношению к $x$ равен $\frac{1}{2}x^2$. Таким образом, интеграл от $10x$ равен $5x^2$.

2. $\int -\frac{7}{\sqrt{7x}} \, dx$: Для интегрирования $-\frac{7}{\sqrt{7x}}$ по $x$, мы можем провести замену переменной, чтобы упростить интеграл. Для этого давайте заметим, что $\sqrt{7x} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{x}$. Мы можем вынести $\sqrt{7}$ за знак интеграла:

   $-\frac{7}{\sqrt{7x}} \, dx = -7\sqrt{7}\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$.

   Теперь интеграл можно записать следующим образом:

   $-7\sqrt{7} \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$.

   Интеграл от $\frac{1}{\sqrt{x}}$ равен $2\sqrt{x}$.

   Таким образом, интеграл от $-\frac{7}{\sqrt{7x}}$ равен $-7\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{x} = -14\sqrt{7x}$.

Теперь мы можем объединить две интегральные части:

$F(x) = 5x^2 - 14\sqrt{7x} + C,$

где $C$ - произвольная постоянная, которую добавляют при интегрировании. Таким образом, это и есть первообразная для функции $F(x)$.