Question

ДАЮ 25 БАЛЛОВ!!1 Решите уравнение|x|-2/x-2=0 . Если уравнение имеет несколько решений, то в ответ запишите их произведение.

Answer 1

$|x|-\dfrac{2}{x} -2=0$

Отметим ОДЗ: $x\neq 0$.

Первый случай. Пусть $x>0$ . Тогда:

$x-\dfrac{2}{x} -2=0$

Умножим обе части уравнения на $x\neq 0$:

$x^2-2x-2=0$

$D_1=(-1)^2-1\cdot(-2)=1+2=3$

$x=1\pm\sqrt{3}$

Заметим, что корень $x=1-\sqrt{3}$ не удовлетворяет условию раскрытия модуля $x>0$ .

Таким образом, пока что найден один корень:

$\boxed{x=1+\sqrt{3}}$

Второй случай. Пусть $x$ . Тогда:

$-x-\dfrac{2}{x} -2=0$

$x+\dfrac{2}{x} +2=0$

$x^2+2x+2=0$

$D_1=(-1)^2-1\cdot2=1-2=-1$

Последнее уравнение вовсе не имеет корней.

Значит, исходное уравнение имеет один корень.

Ответ: $1+\sqrt{3}$

Answer 2

Давайте решим уравнение:

|x| - 2/(x - 2) = 0

Сначала выразим |x|:

|x| = 2/(x - 2)

Теперь у нас есть два случая, в зависимости от знака x.

1. Если x положительное:

Тогда |x| = x, и уравнение принимает вид:

x = 2/(x - 2)

Умножим обе стороны на (x - 2):

x(x - 2) = 2

Раскроем скобки:

x^2 - 2x = 2

Переносим все члены на одну сторону:

x^2 - 2x - 2 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12

x1 = (-(-2) + √12) / (2 * 1) = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3 x2 = (-(-2) - √12) / (2 * 1) = (2 - 2√3) / 2 = 1 - √3

2. Если x отрицательное:

Тогда |x| = -x, и уравнение принимает вид:

-x = 2/(x - 2)

Умножим обе стороны на (x - 2) и сменяем знак:

x(x - 2) = -2

Раскроем скобки:

x^2 - 2x = -2

Переносим все члены на одну сторону:

x^2 - 2x + 2 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = -4

Дискриминант отрицателен, это означает, что уравнение не имеет действительных корней для отрицательных x.

Итак, у нас есть два корня для положительных x (x1 = 1 + √3 и x2 = 1 - √3), и нет корней для отрицательных x.

Теперь, чтобы найти произведение корней, умножим x1 и x2:

(x1 * x2) = (1 + √3) * (1 - √3) = 1 - 3 = -2

Итак, произведение корней равно -2.