Question

5. Вычислите cos (а — 4π), если tg²a = 49 и π/2<а<π​

Answer 1

Во-первых, в силу периодичности искомое выражений можно упростить:

$\cos (a - 4\pi )=\cos a$

Так как $\dfrac{\pi }{2}$, то рассматриваемый угол принадлежит второй четверти, где косинус отрицательный.

Запишем формулу:

$1+\mathrm{tg}^2a=\dfrac{1}{\cos^2a}$

Выражаем косинус, учитывая его знак:

$\cos^2a=\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2a}$

$\cos a=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2a} }$

Подставляем значение квадрата тангенса:

$\cos a=-\dfrac{1}{\sqrt{1+49} }=-\dfrac{1}{\sqrt{50} }=-\dfrac{1}{5\sqrt{2} }=-\dfrac{\sqrt{2}}{5\cdot2 }=-\dfrac{\sqrt{2}}{10 }$

Ответ: $\cos (a - 4\pi )=-\dfrac{\sqrt{2}}{10 }$

Answer 2

Дано: \( \tan^2{a} = 49 \), и \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \).

Сначала найдём значение угла \( a \) по заданному соотношению \( \tan^2{a} = 49 \).

Мы знаем, что \( \tan{a} = 7 \) или \( \tan{a} = -7 \), поскольку квадрат тангенса угла равен положительному числу.

Так как угол \( a \) лежит в четвертом квадранте (так как \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \)), то тангенс отрицателен в этом квадранте. Значит, \( \tan{a} = -7 \).

Теперь, чтобы найти значение косинуса угла \( a - 4\pi \), используем тригонометрическую формулу для косинуса разности углов:

\[ \cos{(a - 4\pi)} = \cos{a}\cos{4\pi} + \sin{a}\sin{4\pi} \]

Учитывая, что \( \cos{4\pi} = 1 \) и \( \sin{4\pi} = 0 \), формула упрощается до:

\[ \cos{(a - 4\pi)} = \cos{a} \cdot 1 + \sin{a} \cdot 0 = \cos{a} \]

Таким образом, чтобы найти \( \cos{(a - 4\pi)} \), мы должны найти \( \cos{a} \).

Теперь, мы знаем, что \( \tan{a} = -7 \), и \( \cos{a} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2{a}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 49}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} \).

Таким образом, \( \cos{(a - 4\pi)} = \frac{\sqrt{2}}{10} \).