Question

Почему при решении уравнения 3sqrt(x + 3) - sqrt(x - 2) = 7 появляются посторонние корни (x = 33/16), которые даже в ОДЗ входят? И как эти посторонние корни отсеять без их подстановки в исходное уравнение?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Решим уравнение "школьным" способом:

$3\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}=7\\3\sqrt{x+3}=7+\sqrt{x-2}$

$\left\{\begin{array}{c}9(x+3)=(7+\sqrt{x-2})^2\\x\ge2\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку системы:

$9(x+3)=(7+\sqrt{x-2})^2\\8x-20=14\sqrt{x-2}\\4x-10=7\sqrt{x-2}$

Запись справа от равно неотрицательна ($\ge0$).

Тогда, если слева окажется отрицательное число, корней не будет.

Поэтому равносильным переходом станет:

$\left\{\begin{array}{c}(4x-10)^2=49(x-2)\\x\ge2.5\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку системы:

$16x^2-129x+198=0\\(x-6)(16x-33)=0$

$\left[\begin{array}{c}x=6\\x=\dfrac{33}{16}\end{array}\right;$

Но у нас есть условие, что $x\ge2.5$, откуда $x=\dfrac{33}{16}\approx2.06$ не подходит.

Тогда $x=6$ - это корень уравнения.

Уравнение решено!

Answer 2

Уравнение 3√(x + 3) - √(x - 2) = 7 выглядит необычно из-за наличия кубического корня. Посторонние корни могут появиться из-за особенностей работы с корнями в уравнении.

Чтобы понять, почему появляются дополнительные корни, давайте проанализируем уравнение шаг за шагом:

1. 3√(x + 3) - √(x - 2) = 7

Давайте преобразуем его, чтобы избавиться от одного из корней. Для этого мы можем возвести оба выражения в квадрат:

(3√(x + 3))^2 - 2 * 3√(x + 3) * √(x - 2) + (√(x - 2))^2 = 7^2

9(x + 3) - 2 * 3√(x + 3) * √(x - 2) + (x - 2) = 49

2. Теперь давайте внесем корень в одну из сторон уравнения:

9(x + 3) - 2 * 3√(x + 3) * √(x - 2) + (x - 2) = 49

9(x + 3) - 2√(3(x + 3)(x - 2)) + (x - 2) = 49

3. Теперь давайте преобразуем уравнение, чтобы изолировать корень:

9(x + 3) + (x - 2) - 49 = 2√(3(x + 3)(x - 2))

10x + 27 - 49 = 2√(3(x + 3)(x - 2))

10x - 22 = 2√(3(x + 3)(x - 2))

5x - 11 = √(3(x + 3)(x - 2))

4. Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(5x - 11)^2 = (√(3(x + 3)(x - 2)))^2

(5x - 11)^2 = 3(x + 3)(x - 2)

5. Раскроем квадрат слева:

25x^2 - 110x + 121 = 3(x^2 - 2x + 3x - 6)

25x^2 - 110x + 121 = 3(x^2 + x - 6)

25x^2 - 110x + 121 = 3x^2 + 3x - 18

6. Теперь приведем все члены уравнения на одну сторону:

25x^2 - 3x^2 - 110x - 3x + 121 + 18 = 0

22x^2 - 113x + 139 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта. Когда вы решите это квадратное уравнение, вы должны получить только корни, которые соответствуют исходному уравнению, без дополнительных "посторонних" корней, которые могут возникнуть при работе с корнями в начальном уравнении.