Question

Упростите выражение с объяснением: 1) (a²-3)³-(a-2)(a²+4)(a+2) 2)(b²-3)³-(b²+3)(b^4-3b²+9) 3)(m²-1)(m^4+m²+1)-(m²-1)³ 4)(x²-2)(x^4+2x²+4)-(x³-1)²

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Нужно знать формулы сокращённого умножения:

a) a²-b² = (a-b)·(a+b);

b) (a-b)² = a²-2·a·b+b²;

c) a³+b³ = (a+b)·(a²-a·b+b²);

d) a³-b³ = (a-b)·(a²+a·b+b²);

e) (a-b)³ = a³-3·a²·b+3·a·b²-b³.

1) (a²-3)³-(a-2)·(a²+4)·(a+2) = [e)] = a⁶-3·a⁴·3+3·a²·3²-3³-(a-2)·(a+2)·(a²+4) = [a)] =

= a⁶-9·a⁴+27·a²-27-(a²-4)·(a²+4) = [a)] = a⁶-9·a⁴+27·a²-27-(a⁴-16) =

= a⁶-9·a⁴+27·a²-27-a⁴+16 = a⁶-10·a⁴+27·a²-11;

2) (b²-3)³-(b²+3)(b⁴-3·b²+9) = [e), c)] = b⁶-3·b⁴·3+3·b²·3²-3³-(b⁶+27) =

= b⁶-9·b⁴+27·b²-27-b⁶-27 = -9·b⁴+27·b²-54;

3) (m²-1)(m⁴+m²+1)-(m²-1)³ = [d), e)] = m⁶-1-(m⁶-3·m⁴·1+3·m²·1²-1³) =

= m⁶-1-(m⁶-3·m⁴+3·m²-1) = m⁶-1-m⁶+3·m⁴-3·m²+1 = 3·m⁴-3·m²;

4) (x²-2)·(x⁴+2·x²+4)-(x³-1)² = [d), b)] = x⁶-8-(x⁶-2·x³+1) =

= x⁶-8-x⁶+2·x³-1 = 2·x³-9.

Answer 2

Давайте разберемся с упрощением данного выражения по шагам:

1) Раскроем скобки в первом слагаемом. Для этого возводим квадрат в куб и раскрываем скобки второго множителя:

(a² - 3)³ = (a² - 3)(a² - 3)(a² - 3) = (a⁴ - 6a² + 9)(a² - 3)

2) Раскроем скобки во втором слагаемом. Для этого умножим каждое слагаемое во втором множителе на первое слагаемое:

(a - 2)(a² + 4)(a + 2) = (a³ - 2a² + 4a - 8)(a + 2) = a⁴ + 2a³ - 4a² - 8a² - 16a + 8a + 16 = a⁴ + 2a³ - 12a² + 16

3) Раскроем скобки в третьем слагаемом. Для этого возводим квадрат в четвертой степени и раскрываем скобки во втором множителе:

(m² - 1)(m⁴ + m² + 1) = (m² - 1)(m⁴ + m² + 1) = (m⁶ + m⁴ + m² - m⁴ - m² - 1) = m⁶ + 1

4) Раскроем скобки в четвертом слагаемом:

(x² - 2)(x⁴ + 2x² + 4) = (x⁶ + 2x⁴ - 2x² - 4x⁴ - 8x² + 8) = x⁶ - 2x⁴ - 10x² + 8

5) Упростим пятый слагаемый:

(x³ - 1)² = (x³ - 1)(x³ - 1) = (x⁶ - x³ - x³ + 1) = x⁶ - 2x³ + 1

Теперь объединим все упрощенные слагаемые:

(a⁴ - 6a² + 9)(a² - 3) - (a⁴ + 2a³ - 12a² + 16) + (m⁶ + 1) - (x⁶ - 2x⁴ - 10x² + 8) + (x⁶ - 2x³ + 1)

Удалим скобки и сгруппируем одинаковые степени переменных:

a⁴ - 6a² + 9a² - 27 - a⁴ - 2a³ + 12a² - 16 + m⁶ + 1 - x⁶ + 2x⁴ + 10x² - 8 + x⁶ - 2x³ + 1

Сократим слагаемые с одинаковыми степенями:

-2a³ + 21a² - 50 + m⁶ + 2x⁴ + 10x² - 16

Таким образом, упрощенное выражение будет:

-2a³ + 21a² + m⁶ + 2x⁴ + 10x² - 66