Question

Доведіть нерівність (a+b)(1/a+1/b)≥4 якщо a>0 і b>0 ​

Answer 1

Объяснение:

$+a\geq 0,\ \ \ \ b\geq 0.\\(a+b)*(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})\geq 4\\(a+b)*(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})-4\geq 0\\(a+b)*(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})-4=(a+b)*\frac{a+b}{a*b}-4=\frac{(a+b)^2}{ab}-4=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} =\\=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}.\\(a-b)^2\geq 0,\\ab>0\ (a>0,\ b>0). \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\\\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0.$

Answer 2

Для доведення даної нерівності, розглянемо вираз (a+b)(1/a+1/b) і розкриємо дужки:

(a+b)(1/a+1/b) = a/a + a/b + b/a + b/b = 1 + a/b + b/a + 1

Застосуємо нерівність арифметичного і гармонічного середніх:

(a/b + b/a) / 2 ≥ √((a/b)*(b/a)) = √(1) = 1

Домножимо обидві частини нерівності на 2:

(a/b + b/a) ≥ 2

Підставимо цей результат в наш вираз:

1 + a/b + b/a + 1 ≥ 2 + 2

Спростимо вираз:

a/b + b/a + 2 ≥ 4

Таким чином, ми довели нерівність (a+b)(1/a+1/b) ≥ 4 при умові a>0 і b>0.