Question

Найти производную y=x\4 tg 3x

Answer 1

........................

Answer 2

Конечно, я могу помочь! Давай начнём с нахождения производной функции \(y = x^4 \cdot \tan(3x)\). Для этого нам понадобятся правила дифференцирования.

Для упрощения вычислений воспользуемся правилами дифференцирования:

1. Для \(x^4\) используем степенное правило: \( \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} \), где \(n\) - степень.

2. Для \(\tan(3x)\) мы применим цепное правило (chain rule), которое утверждает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Производная функции \(y\) будет равна сумме произведений производных обоих частей функции.

Давай начнём с производной \(x^4\):

\(\frac{d}{dx} x^4 = 4x^3\)

Теперь посмотрим на производную \(\tan(3x)\). Производная тангенса \(\tan(u)\) равна \( \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \), где \(\sec^2(u)\) - квадрат секанса.

Производная \(\tan(3x)\) будет:

\(\frac{d}{dx} \tan(3x) = \sec^2(3x) \cdot \frac{d}{dx} (3x)\)

Здесь \(\frac{d}{dx} (3x) = 3\) (производная внутренней функции \(3x\)).

Теперь нам нужно выразить \(\sec(3x)\), где \(\sec(u) = \frac{1}{\cos(u)}\).

\(\sec^2(3x) = \frac{1}{\cos^2(3x)}\)

Таким образом, производная \(\tan(3x)\) будет:

\(\frac{d}{dx} \tan(3x) = \frac{3}{\cos^2(3x)}\)

Теперь, чтобы получить производную функции \(y = x^4 \cdot \tan(3x)\), мы используем правило произведения производных:

\(\frac{d}{dx} [x^4 \cdot \tan(3x)] = x^4 \cdot \frac{d}{dx} \tan(3x) + \tan(3x) \cdot \frac{d}{dx} x^4\)

Подставим значения производных:

\(\frac{d}{dx} [x^4 \cdot \tan(3x)] = x^4 \cdot \frac{3}{\cos^2(3x)} + \tan(3x) \cdot 4x^3\)

Это и будет итоговой производной функции \(y = x^4 \cdot \tan(3x)\).

Могу помочь ещё чем-то?