Question

Доказать: среднее арифметическое трех чисел больше или равно среднего геометрического этих же чисел.​

Answer 1

Нужно доказать, что если числа  a, b и  с неотрицательны, то

$\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc},$ причем равенство превращается тогда и только тогда, когда a=b=c. Воспользуемся способом, с помощью которого доказывается так называемая теорема Мюрхеда. Я не буду формулировать эту теорему, поскольку мое изложение не предполагает таких знаний.  

Введем новые обозначения:   $\sqrt[3]{a}=x;\ \sqrt[3]{b}=y;\ \sqrt[3]{c}=z;$ неравенство, написанное раньше, превращается в $x^3+y^3+z^3\ge 3xyz.$

По некоторым техническим соображениям перепишем его в виде

$2x^3+2y^3+2z^3\ge 6xyz.$ Доказательство проведем в два этапа: сначала докажем, что $2x^3+2y^3+2z^3\ge x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2,$  а затем - что $x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2\ge 6xyz.$

Для доказательства первого неравенства перенесем все слагаемые налево и сгруппируем так:

$x^2(x-y)+x^2(x-z)+y^2(y-x)+y^2(y-z)+z^2(z-x)+z^2(z-y)=$$(x-y)(x^2-y^2)+(x-z)(x^2-z^2)+(y-z)(y^2-z^2)=$

$=(x-y)^2(x+y)+(x-z)^2(x+z)+(y-z)^2(y+z)\ge 0$ (вспомним, что мы рассматриваем только неотрицательные числа!), причем неравенство превращается в равенство только если x=y=z.

Доказываем второе неравенство. Для этого снова все переносим в левую часть:

$xy(x-z)+xy(y-z)+xz(x-y)+xz(z-y)+yz(y-x)+yz(z-x)=$

$=(x-z)(xy-yz)+(y-z)(xy-xz)+(x-y)(xz-yz)=$

$=(x-z)^2y+(y-z)^2x+(x-y)^2z\ge 0,$ причем неравенство превращается в равенство только если  x=y=z. На этом доказательство неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим трех положительных чисел завершено.

Answer 2

Давайте обозначим три числа как \(a\), \(b\), и \(c\). Среднее арифметическое (СА) этих чисел обозначим как \(\text{СА} = \frac{a+b+c}{3}\), а среднее геометрическое (СГ) как \(\text{СГ} = \sqrt[3]{abc}\).

Теперь нам нужно доказать, что \(\text{СА} \geq \text{СГ}\).

Начнем с неравенства между арифметическим и геометрическим средним для двух положительных чисел \(x\) и \(y\):

\[2\sqrt{xy} \leq x + y\]

Теперь представим наши числа \(a\), \(b\), и \(c\) в виде \(a = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}\), \(b = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}\), и \(c = \sqrt{c} \cdot \sqrt{c}\).

Применяя неравенство для каждой пары чисел, получим:

\[2\sqrt{ab} \leq a + b\] \[2\sqrt{bc} \leq b + c\] \[2\sqrt{ca} \leq c + a\]

Теперь сложим все три неравенства:

\[2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) \leq (a + b) + (b + c) + (c + a)\]

Упростим:

\[2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ca} \leq 2a + 2b + 2c\]

Теперь разделим обе стороны на 2:

\[\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \leq a + b + c\]

Теперь у нас есть неравенство между суммой корней и суммой исходных чисел.

Теперь давайте поделим обе стороны на 3:

\[\frac{\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}}{3} \leq \frac{a + b + c}{3}\]

Это неравенство очень похоже на определение среднего геометрического:

\[\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a + b + c}{3}\]

Теперь у нас есть неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для трех чисел. Мы можем утверждать, что:

\[\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}\]

Таким образом, доказано, что среднее арифметическое трех чисел больше или равно среднему геометрическому этих же чисел.