Question

Найдите коэффициент при х^3 в биномиальном разложении (1-2х)*4

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Коэффициенты бинома 4й степени по треугольнику Паскаля

1 4 6 4 1

x³ содержится в предпоследнем элементе разложения Бинома

4*1*(-2х)³=4*(-8х³)=-32х³

таким образом коэффициент при x³  

-32

Answer 2

Биномиальное разложение представляет собой разложение выражения в виде суммы биномиальных коэффициентов, умноженных на степени переменной. Формула биномиального разложения для степени \( n \) имеет вид:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

где \( \binom{n}{k} \) - биномиальный коэффициент, который равен \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В вашем случае у вас есть выражение \( (1-2x) \cdot 4 \), и мы хотим найти коэффициент при \( x^3 \) в его биномиальном разложении.

Раскроем скобки:

\[ (1-2x) \cdot 4 = 4 - 8x \]

Теперь мы можем применить биномиальное разложение для \( (4-8x)^n \) и найти коэффициент при \( x^3 \).

В случае, если \( n < 3 \), коэффициент при \( x^3 \) будет равен 0, так как степень \( x \) в разложении не превысит 2. Если \( n \geq 3 \), то нужно использовать биномиальный коэффициент для \( k = n - 3 \), так как при разложении мы получаем множитель \( x^{n-k} \).

Итак, биномиальный коэффициент для \( k = n - 3 \) в разложении \( (4-8x)^n \) будет:

\[ \binom{n}{n-3} = \frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \]

А коэффициент при \( x^3 \) будет равен произведению этого биномиального коэффициента и коэффициента при \( x \) в выражении \( 4-8x \), который равен -8:

\[ \text{Коэффициент при } x^3 = \frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \cdot (-8) \]

Это и есть итоговый ответ.